求教，关于一点可导与领域可导的问题以复习全书P68页为例

秦晓磊

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得不出二阶导在临域上还可以再有导数这个结论，如果描述的是零阶那个函数，则可以说它在临域上二阶可导。这个领域用错了，不能确定二阶领域可导，只能确定一点

hovcos

总结一下：一点连续不能推出邻域连续；一点可导不能推出邻域可导；一点可导不能推出邻域连续。一点的性质和邻域完全扯不上关系，当然多数情况下，我们研究的是解析函数，完全可以无视一点与邻域的，只是高等数学里，可能是为了一些严密性，经常举出非解析函数的特例。比如说函数f（x），在x为有理数时等于0，为无理数时等于x^2，显然f（x）在x=0处连续可导，但在x=0的任何邻域都不可导，也不连续。。。这算是数学家的牛角尖吧。。。
Weierstrass是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生。所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。我们学高等数学，到这个地步就足够了，别多想了。。

jacklv

如果在x=0处，三阶可到且不等于0的话，可以很快等处x=0是极值点。

jacklv

如果在x=0处，三阶可到且不等于0的话，可以很快等处x=0是极值点。

aiai_andy

hovcos 发表于 2011-7-29 08:23
总结一下：一点连续不能推出邻域连续；一点可导不能推出邻域可导；一点可导不能推出邻域连续。一点的性质和 ...

正是这样，连续和可导都是逐点进行定义的，这是游戏的规则。一点连续不能推出邻域连续，黎曼函数就是一个很好的例子。

ycscau2008

谢谢各位解答！已经清楚明白了！！

quchong

forverd 发表于 2011-7-28 23:39
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"假定f(x)=0领域三阶可导"不能证明三阶导函数连续，只能证明二阶导函数连续，同理 ...

f(x)在x=0处三阶可导就能得出二阶导函数连续了，我认为要在x=0的领域三阶可导的话，三阶导函数在x=0处肯定连续了。

quchong

ycscau2008 发表于 2011-7-28 23:15
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谢谢解答，不过还是有点疑问:

3，邻域可导不能推出一点可导？这个不明白。评注中给出的加强条件个人感觉不是可以删去“及f(x)三阶导函数在x=0连续”这句吗？？前面都说了“假定f(x)=0领域三阶可导”这不就蕴含三阶导函数在x=0连续了吗？？


我也是这么认为的。

quchong

大家看那个题的第二问，题目条件是x=0邻域内二阶可导，然后求出x→0时f''（x）极限，然后就有了f''（0）=那个极限值，所以可以看到，要是f(x)在x=x0的领域内n阶可导，那么f（n阶）（x）在x=x0处是连续的

forverd

quchong 发表于 2011-8-28 12:56
f(x)在x=0处三阶可导就能得出二阶导函数连续了，我认为要在x=0的领域三阶可导的话，三阶导函数在x=0处肯 ...

你可以认真的看全书   全书上这样的例子  
就是导数存在  但是导函数是不连续的