求教大神：可导函数的极值点和拐点可以在同一点取得吗？

heping_time

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- - 还得是可导函数啊。 那再琢磨琢磨~~

怡情小子

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说说看哦

phhdxqe

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额 搞错了

夜空的烟花

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恩，你说得对。

348495962

可以

苏显贺

2楼的观点前半段是对的，后半段不对，在x=0处比两边的都要小，所以是极值，然而拐点是需要两边二阶导数变号，然而两侧的二阶导数都是0所以不是拐点

ssqaaaaaaaaa

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呵呵，lz有兴趣，我还是很高兴能和lz探讨下证明过程的那我们就从Fermat引理开始吧


证：
1、有Fermat引理可知，可导函数在x=x0点处取极值，则f ‘（x0）=0
又导函数不存在第一类间断点，且f ‘（x0）=0，则存在X0某一邻域U(X0),使得f ’（x）在这一领域内连续
因为函数在x=x0点处取极值，且f ’（x）在U(x0)这一领域内连续,所以f ’（x）在x=x0点左右异号
所以f ’（x）在x=x0点处不是U(x0)这一领域内的极值
但由拐点定义可知，若在x=x0取拐点，则f ’（x0）是f ’（x）在U(x0)领域的极值，这与上述矛盾
故可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点

2、同理，若在f（x）在x=x0取拐点，则f ’（x）在x=x0处取极值，f ’（x）在U(x0)领域内同号，所以f（x）在U(x0)领域是单调的，根据极值点定义，故x=x0点不是极值点

综合一二，可导函数f（x）在x=x0点取极值就不能成为拐点，可导函数f（x）在x=x0点是拐点就不能成为极值点，故可导函数的极值点和拐点不可以在同一点取得。  证毕

这里说明两个问题：
1、在证明过程中，有用到“导函数不存在第一类间断点”、“ 若f ’（x）在U(x0)这一领域内连续，函数在x=x0点处取极值，则f ’（x）在x=x0点左右异号”这两个命题。在严格证明中，对于没有证明的命题应先证明然后才能使用。这两个命题是可以证明的，但限于篇幅，此处略去
2、“函数的极值点和拐点不可以在同一点取得”是在“函数可导”的前提在证明的。但在”不可导“的情况下“函数的极值点和拐点是可以在同一点取得”的。

DanShey

楼上的是数学专业的哇？？

静静心啦

17楼神级操作

玄铁☆轩辕

不存在这样的点，可以这么想，假设一个x=x0为极值点，则在该点左右两边的导数值符号不一样而不相等，则根据罗尔定理，在该点的二阶导数值肯定不为0