本帖最后由 战地黄花 于 2011-4-17 21:05 编辑
矩阵的“秩”,是线性代数第一部分的核心概念。
“矩阵的秩与向量组的秩一致。矩阵的秩就是其行(或列)向量组的秩。”怎样证明? 就当做习题练一练。 设矩阵A的秩为 r ,则A必有一个 r 阶子式不为0,而所有 r + 1阶子式全为 0 逻辑1—— r 阶子式不为0,则 r个 r 维向量线性无关。 分析 这是格莱姆法则推论,带来的直接判别方法。 (画外音:r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0) 逻辑思维链 —— 这 r 个 r 维向量与 A 的行(或列)向量组有何关系? 逻辑2——(“线性无关,延长无关。”定理)—— 已知一个 n 维向量组线性无关,如果在相同的位置,给组内每个向量都增加一个分量,则所得的 n + 1维向量组也线性无关。 分析 不妨认为给线性无关的 n 维向量组 a1,a 2,…,a k 的每个向量都加上第 n + 1个分量,形成一个n + 1 维向量组 b1,b 2,…,b k 若有一组不全为零的数 c1,c2,…,c k ,使得 c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0
, 如何证明“这组常数只能全为0”? 每个向量有 n + 1 分量,向量“线性组合为0”实际上是 n + 1个等式。前 n 个等式即 c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0 由已知线性无关即得,这组常数只能全为0,而最后那个(第n + 1个)等式自然成立。 逻辑3 ——将线性无关的 r个 r 维向量,逐次延长为矩阵A 的 r个行向量(或列向量),它们线性无关。 (潜台词:简而言之,不为0的r阶子式所在的r个行向量(或列向量)线性无关。) 逻辑思维链(关键问题)——这 r 个行向量是行向量组的最大无关组吗? 唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0 分析 不妨设不为0 的r 阶子式就由这 r 个行的左起前 r 个分量排成。(画外音:画个示意图最好。) 任取A的一行,其左起前 r个分量形成的 r 维向量,必定可以被 r 阶子式的 r 个行线性表示。
记为 β = c1a1+ c2 a2 + ---+ c r a r 把式中各个向量,增加入第r+ 1个分量,这个表达式还成立吗? (潜台词:增加入 第 r+ 1个分量,讨论的背景是A的一个 r + 1阶子式。 r + 1 阶子式为 0,则 r + 1个 r + 1维向量线性相关。β 所在的那行,可以被另 r 行线性表示。问题就在于,和增加一个分量之前对比,线性表示的“系数变还是没变”。) 实际上,这 r+ 1个 r+ 1维向量排成 A 的r + 1阶子式。是那个不为 0 的 r 阶子式的“加边行列式”。其值为0 (画外音:继续画示意图。) 对这个 r + 1阶子式作试算变形,设法利用 r 维向量 β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r 把第一行乘以 − c1 ,第二行乘以 −c2 ,……,第r行乘以 − c r ,全都加到第r+ 1行。则第 r+ 1行的前 r 个分量都变为0,设此时第 r+ 1行的第 r+ 1个分量为c , 按第r + 1行来展开 r + 1 阶子式得方程: (左上r 阶子式)c = 0, 只有c = 0 这就表明,增加入第 r+ 1个分量, β = c1a1+ c2a2+ ---+ c r a r 对r+1维向量还是成立。 添加的第 r+ 1列,自然可以随意换为第 r+ 2个分量那列,或第 r+3个分量那列,……,讨论过程与结论都一样。即,线性组合关系存在,组合系数始终不变。 这样一来,A的任意一行,都能被 r 阶子式所在的 r个行线性表示。A的秩就是其行(或列)向量组的秩。 矩阵的秩与向量组的秩一致。求向量组的秩,排成一个矩阵,作初等变换求矩阵的秩。 想通了。有意思,很愉快。你对向量线性相关的定义式,是否理解得更细了。
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