《级数》试题求解时的技巧和注意点总结 [修订]

沧海一帆

《级数》试题求解时的技巧和注意点总结 [修订]


级数一章看似简单，但实际需要注意的地方也比较的多，特别如∑的下标是从0开始还是从1开始？X∑Un中的X在求和函数时是放在积分符号之内呢还是放在其之外？等等，象这种细微的差别就有可能使您的求解结果相差十万八千里。以下是一些关于本人在求解级数试题时所作的技巧和注意点总结，看一下您是否曾经也犯过类似的错误。

1）∑（0，∞）sin(aπ)=∑（0，∞）(-1)^nsin(aπ-nπ)

2）在运用莱布尼兹判敛法则时的第二个条件可以运用单调性判断；即f'(x)是否大于0？

3）在解展开幂级数或求幂级数的和函数时，收敛域的求解勿忘。

4）在某点处展开幂级数除了写出收敛域外还要去除该点。

5）在解幂级数展开时应注意，∑的下标是从0开始还是从1开始，在具有积分时还需看f(0)是否为0。即∫f'(x)dx+f(0)=f(x).这一点作了新的修订

6）在求幂级数和函数时，积分，导数既可对∑内的X起作用，也可以对∑外的X起作用，但需要一一对应，即对被处理项用一次积分同时必须对其用一次导数；反之也然。

7）求得和函数表达式时，还要看属于收敛域，但并不属于定义域的点，这些点需要单独列出来，求得和函数的值。

8）当∑（0，∞）Un中的U0=0时，∑（0，∞）Un=∑（1，∞）Un，而且在套用积分时必须写成后者形式，以免出现∫(0,x)0dx=1的错误情况。注意：有的下表甚至从2开始。如陈《复习指南》02版例8，31,(2)

9）数项级数求和的四类方法：简单转换法，拆项相消法，递推法，阿尔贝法。其中阿尔贝法最重要。

10）求解傅立叶级数时的四点总结
a、对于一个级数既可以奇开拓，又可以偶开拓，按题目的要求确定求正弦级数还是余弦级数
b、开拓后的级数按平常级数展开，并注意写上定义域
c、定义域的端点的傅立叶级数是没有意义的，如要求值，则需用狄莱克利定理求解
d、在求an或bn时出现[1-(-1)^n]这样的项时，一般情况下使n=2k,n=2k+1分开讨论，使结果更简洁






因nanxingstar网友的要求，以下是如何求级数敛散性的总结

如何求级数的敛散性（拿到一个敛散性判断问题时怎样入手）

首先判断级数的类型

1，如果级数为正项级数：则先看当n趋于无穷时Un是否等于0，不为0则级数发散，等于0则用以下三种方法判断
1）比较法
2）比值法
3）根值法

技巧：
1）如果级数项中含有阶乘的形式一般用比值法
2）如果级数项中含有指数项P^n则一般用根值法
3）既有阶乘项又有指数项则一般用比值法
4）其它的一般用比较法
a、两个定理
差形式和极限形式
b、两个推论
数乘差形式和P-级数形式

2，如果级数是交错级数
则运用莱布尼兹定理

技巧：
在判断第二个条件时一般用单调性判断

3，如果是任意项级数
则转化成正项级数，运用任意项级数和正项级数的关系试判断（定理七）

注意点：
1）比值法，根值法是充分但不必要条件
2）涉及证明一般只能用比较法
3）但在判断级数发散时，比值法，根值法同样适用

对研友qiushanshuidao的解答

关于级数下标的问题
关键是看x的指数,如果x的指数是n-2
则下标一般要从2开始
然后再看一下a0,a1是否为0
如果不是0则单独列出
依次类推

大家有什么问题，我会尽我所力为大家服务
还有大家有什么好的建议或者好的题目，大家也可以贴上来
大家讨论，相互提高

这两道题目个人觉得比较好，大家做做看(有civilman网友提供)
一,填空:
       设试验成功的概率为3/4,失败的概率为1/4,独立重复试验直到成功两次为止,以X表
示试验进行的次数，则E(X)=____。

二 大题
    在随机地抛掷两枚骰子的独立试验中，求两枚骰子点数之和为6的结果出现在点数之和为8的结果之前的概率。


三,证明s^2是σ^2的无偏估计(摘自陈<习题集粹>)




※ 修改：沧海一帆于2003-12-11 01:30:26修改本文
※ 修改：沧海一帆于2003-12-12 02:10:55修改本文:):):):):):)
※ 修改：沧海一帆于2003-12-13 11:53:47修改本文
※ 修改：沧海一帆于2003-12-13 15:45:32修改本文

沧海一帆

http://bbs.kaoyan.com/ibbs.dll?bbsdisp?t_id=312892&bp=1&bt=0

以上这个连接是我在申请的考研网的一个论坛，大家支持一下哦，再次感谢大家了

sl1010

我有同感！顶！[em:34][em:36]

沧海一帆

自己顶一下
我觉得这篇建议还是有一定价值的

conanin790205

支持！！！

yyjjnn

yukikotoko

ding

lk99cid

谢谢楼主，级数我一直都有点寒，现在就有个大体思路了

沧海一帆

感谢斑竹置顶
同时也感谢各位研友的大力支持

我将于近日修改此文，将对级数一章作更完整总结

柿子炒鸡蛋

支持！:})