一道极限求值问题 望高人解答

undeadbright

关于x的四个函数f(x),g(x),h(x),p(x),当x趋近于某值时，h(x)=A。   （注：式子前方都有极限的符号lim,在此省略）
那么我想问一下[f(x)+p(x)]/[g(x)+h(x)]=[f(x)+p(x)]/[g(x)+A]这个式子是否正确，答案上说不正确，
可是极限运算法则上说若A是f(x)的极限，B是g(x)的极限，则f(x)+g(x)=A+B


此问题参照于李永乐2010版《数学基础过关660题》第四页第七题D选项


望大家抽口看下，然后告诉我为什么，感激不尽~

考考哥

只是加减运算的时候 等价代换是可以的，高阶的无穷小不影响计算结果  无穷小加减都还是无穷小 最后还是个0
但是如果在分式中就不一样了，高阶无穷小有可能影响计算结果 因为0/0型有可能有极限
就如那道题的反例一样 代换的时候只代换了常数 没有把高阶无穷小带出来 影响的计算结果
如果到代换的话也可以，必须是像泰勒级数一样，把所有 有可能影响结果的 无穷小一起列出来就可以
不知道是否表达清楚

undeadbright

可是你看同济高数教材中“极限运算法则”那一章节的定理三，书中都是直接写limF(x)=A，可上面并没标注这个A不会是等价无穷小的情况啊，李永乐题里的也是limF(x)=A，根本不知道这个是常数还是等价无穷小的比。。。

考考哥

limF(x)=A----------->F(x)=A+o(A)  第一章第四节定理1   加减运算时这个无穷小不影响结果 反正都是0
在分式中，这个无穷小有可能影响计算结果

undeadbright

这下明白了。。。。非常感谢哈
可是我还想问一下，第一章，第五节定理2下面一行字，在求极限值的时候，书上说求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替，那么在求两个无穷小之和的时候呢？是否可以用等价无穷小来代替？

考考哥

加减不在分式中 就可以  在分式中用泰勒 影响计算所有高阶都要列出来  
顺便问一下，你是不是考12年的呀？ 现在才看高数第一章？

战地黄花

微积分如大海，我们之所学只是点滴。背景复杂，我们只能按照学过的定理，法则求积限。不要胡思乱想。

    可以按如下思路去写反例。“等价无穷小相减产生高阶无穷小”。如果你把其中一个先取极限0，就不会产生高阶无穷小。
    x 趋于0时 求 lim（x— tgx）/（x — sinx）
要是先把 sinx 取成0，就错了

undeadbright

So clear~I see! And thanks...