有意思（15）三阶方阵特征向量的几何分析

战地黄花

特征理论基础知识部分，“重特征值特征向量问题”是难点，是重点，也是关键。
        赫尔德曼当年荣获“菲尔茨奖”（数学大奖，只奖给40岁以下的年轻人。）起步工作就是“拓扑向量空间中的重特征理论”。我啃了一两年，就只懂了一点点。
        二,三维空间中的向量问题,可以联系平面及真实空间思考,从几何角度帮助自己理解向量及特征向量的问题。考研数学年年在《线性代数》第二板块出大题，基本上都是讨论三阶方阵。因而更应该借助真实空间背景，把这个特殊情形想深想透。
        矩阵A的单特征值拥有的特征向量集的秩 = 1，
       （潜台词：（A-λE）x = 0解集秩为1）
         这样一来，如果λ是n阶方阵A的单特征值，则有“反控制”： r(A-λE)= n-1
               在重特征情形，只能有，
             “A 的k重特征值拥有的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重数k”
         （画外音：在微分方程理论中，把“k重特征值的特征向量集的秩 < 特征值重数k”的情形。称为A的“k重特征值有亏损”。其直接后果就是A不能与对角阵相似。)
         对于三阶方阵而言
        （1）若三阶方阵A有3个单特征，则A有三个线性无关的特征向量组成三维向量空间的最大无关组。每一个三维向量可以由它们唯一地线性表示。所以称它们是空间的一组（斜）“坐标基”。
        空间中只有三个特征方向。平行于其中一个方向的向量，才是A的特征向量。
        若三阶方阵A是对称阵，则三个特征方向两两正交。
        （2）若三阶方阵A有一个单特征，一个二重特征。且二重特征值拥有的特征向量集的秩就为2 ，这时，单特征对应有一个特征方向。属于二重特征的特征向量则都平行于同一平面。平行于特征方向或平行于这张平面的的向量，才是A的特征向量。
        (画外音：英文文献上说，这个二维空间（“平面”）是由最大无关组的两个向量，（按平行四边形法则）象蜘蛛织网那样“spun”成的。):
         若三阶方阵A是对称阵，则特征方向就是那张平面的法方向。
         垂直于平面法方向的向量一定与平面平行。因而在此情形，与单特征方向正交的向量，一定是A的属于二重特征值的特征向量。
         要注意的是，若一个向量只与A的属于二重特征值的特征向量正交，那它既不一定与“那张平面”正交，也不一定属于该平面，也就不一定是A的特征向量。
        （3）若三阶方阵A有三重特征值λ，且λ不亏损。则有推理：
          —→  A的属于λ的特征向量集的秩 = 3
                 —→（A-λE）x = 0解集秩为3
                 —→  因为（（A-λE）x = 0解集秩）= 3-r (A-λE)，只有r (A-λE) = 0
                 —→  只能A =λE
                逆向思维：太特殊了！“重特征值有亏损”，应该是常有的事。
         三重特征值λ拥有的特征向量集的秩可能为1 ，这时，用四川话说就是，“λ亏惨了。”

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-11-2 10:24 编辑 ]

wjzxwj

老师的sofa

scl1989

板凳……

LmYjQ

很有启发 跟书本上的很不一样 谢谢老师

milnor

您好！在下斗胆概括下您的观点，线性变换的特征值的几何重数不超过其代数重数，当其方阵可对角化时等号成立。鄙人不才，疏漏之处，还望阁下批评指出。