关于正定矩阵迹的问题

tianyuli · 发表于 2010-10-8 15:04

为什么正定阵的主对角线上的每个元素都必须大于零？由特征值全为正得其迹大于零，而不必须每项大于零，好像教科书上没有，而大帝只是直接写出的，不懂耶

沙漠狂鹰 · 发表于 2010-10-8 16:55

你可以这样理解将矩阵正交化以后对应的标准型必须大于零（正定二次型的定义）既然Y的平方都是大于零了那么它的系数肯定都要大于零

wuhuirensheng · 发表于 2010-10-8 17:01

迹等于所有特征值的和啊

tianyuli · 发表于 2010-10-8 18:28

但是全书上写的是主对角线上的每个元素都大于零而不仅仅是其和大于零，这里不懂的。

scl1989 · 发表于 2010-10-8 18:40

既然是正定矩阵那么对於任意向量x，
有x^TAx都必须大于0
你不妨列出一组这样的数(x1,0,0,0……0)，x1不等于0
，带入二次型会发现a11*(x1)^2=0,x1不等于0,a11必大于0这样才能保证正值，然后同样x2不等于0其余为0，……然后你会发现aii都必须大于0了

这个也是取特值的思想
把xixj的无关项去掉就可以了

tianyuli · 发表于 2010-10-8 20:42

这样证明可以，不过是特值证明感觉直接想通还是不太容易，谢谢你！

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