[求助] 特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系

leleluke

今天在做题的时候发现了一个问题自己没有想通，请大家给个解释：
在判断矩阵A能否相似对角化的过程中，我们常用充要条件即是否有n个线性无关的特征向量来判断。但是我今天看的一个解题过程，A是3阶矩阵，有2，2，3三个特征值，其中2显然是二重根了，问题就在题目中判断二重根2有2个线性无关的特征向量之后就没有判断另外一个特征值是否有特征向量，直接讲A有3个线性无关的特征向量了。另外一题更甚：n阶矩阵的特征多项式有n-1重根0和一个解a，题目也是直接判断n-1重根有n-1线性无关的特征向量后就说明A有n个线性无关的特征向量。

我想问这直接判断的依据是什么？来源于什么？



PS：怎么发出大家都能看到的图片？我用mathtype编辑好的图片好像上传上来之后不能预览，只能下载之后才能看，好麻烦。。。能直接在贴子上贴图片么？

箫枫

书上的定理：属于不同特征值的特征向量组成的向量组是线性无关的。

leleluke

这个我明白，你看清楚我的问题，我说的是n阶矩阵，只判断了前n-1个相同的特征值有n-1个线性无关的特征向量之后就直接判断了这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量。这是为什么？

箫枫

原帖由 leleluke 于 2010-7-25 23:46 发表
这个我明白，你看清楚我的问题，我说的是n阶矩阵，只判断了前n-1个相同的特征值有n-1个线性无关的特征向量之后就直接判断了这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量。这是为什么？ ...

加上另外一个特征值的一个特征向量还是线性无关的

annipig

哈哈，还是你啊，你看得真的很细致啊，鼓掌鼓掌……
n重特征值最多对应n个线性无关的特征向量，但每个特征值至少都会对应一个特征向量，因为特征多项式为0，即求特征向量的那个系数矩阵不满秩，当然要有非零解作为特征向量
第一个，3有1个吧，2有2个吧，3和2的还都线性无关，那不就3个了嘛
第二个，0特征值对应的特征向量就是求解-Ax=0吧，然后A的秩为1（为什么呢？貌似这种特征值对应的矩阵秩都为1），那基础解系就有n-1个线性无关特征向量吧，加上a的1个，够了吧？
至于上面为什么A的秩就是1，同求高人解答……

leleluke

呵呵…谢谢你对我的贴子这么积极的回复。感觉与你们这些高手的差距还是很大，只能多看多问了。上面的问题是我做题的时候发现的。你看着题就能明白秩为何是1了…
能*么，以后多请教啊！

cinderella1893

因为特征值是0时，重数大于等于n-r(A)，即n-1大于等于n-r(A)

hitzzc

按你的表述内容肯定推不出结论，几何重数小于等于代数重数的。
你仔细看下题，是不是漏了个实对称阵，因为实对称阵的几何重数等于代数重数。

xk537

回复 leleluke 的帖子

最近正在再次梳理知识点，虽然这个问题大家都回答了，想必楼主也理解的差不多了。我还是啰嗦两句，说不定对加深印象有好处。这个是属于大纲考点要求“掌握”的级别----特征值和特征向量的性质的内容，很重要！
1.不通特征值对应的特征向量一定线性无关：这个很有用，比如告诉你一个矩阵的特征值是1、2、3则直接判断其可以对角化；告诉你1、2、3对应的向量a1,a2,a3则隐含的意思就是他们线性无关；
2.同一个特征值对应的特征向量的任意非零线性组合都是矩阵的特征向量。这个比较好理解和证明
3.不同特征值对应的特征向量的线性组合必不是矩阵的特征向量。这个的证明过程要掌握，比较重要，用反证加性质1和无关的定义证明。
4.N阶矩阵最多有N个线性无关的特征向量，K重特征值也最多有K个线性无关的特征向量

要对这部分理解透彻，知其所以然，可以重新回头看李永乐全书上或者教科书上对于“N阶矩阵可以对角化的充要条件：有N个线性无关的特征向量。”的证明过程。

此外，作为最后整体复习，可以联系记忆，是对称矩阵的特征向量的性质，这个也是大纲明确规定的掌握的内容
1.实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交--------由此可以推出，相互正交的向量一定线性无关或者正交向量组（两两正交的非零向量组）内的向量必线性无关，证明过程最好了解，用正交向量相乘为零加假设相关、左乘一个转置向量的反证法来证明。（经常作为隐含条件出现）
2.正交矩阵（PP^T=E）的行向量和列向量都是两两正交的单位向量。（这个没怎么经常考，但是作为隐含条件很多时候可能不注意）
3.正交矩阵的特征值只能是1或者-1，这个要了解证明过程为好。

针对楼主的问题，再附上一个全书上的题，检测下自己是否真的掌握：
n阶矩阵非零矩阵，A^n=O，判断下列说法的对错：
1.A必不可对角化（正确，原因由A^n=o得其特征值只有0（f（A）=0等价于f（特征值）=0），即为n重特征值，但是由于A为非零矩阵，秩（A）至少为1，所以0对应的特征值最多为n-1，二者不等或者说没有N个线性无关的特征向量，所以不可对角化。