考研数学讲座（48）(49)中心定理路简明,锦上添花对称阵

战地黄花

矩阵与对角阵相似问题，是矩阵谱理论中，“矩阵法式”讨论的特殊情形。
      1.        矩阵的相似
            定义—— 如果存在满秩方阵P，使得   方阵 A = Pˉ¹BP ，就称矩阵A与B相似。
     （画外音：请对比，矩阵A与B等价的充分必要条件是存在满秩方阵P和Q，使得  A = PBQ
           要是你研究式地学习，你可以主动地“折腾”一下定义。就算是练练手。
      （1）对相似的定义等式，方阵 A = Pˉ¹BP ，两端取转置。
                      Aˊ=（(Pˉ¹BP）ˊ 即  Aˊ= PˊBˊ(Pˉ¹) ˊ
如果有   (Pˉ¹) ˊ= (Pˊ) ˉ¹ ， （可以证明！）   则   Aˊ= PˊBˊ(Pˊ) ˉ¹
       结论：如果 A 与B 相似，关联矩阵为 P ，则 Aˊ与Bˊ也相似。关联矩阵为 (Pˊ) ˉ¹
      （2）设 A 与B 都可逆，对定义等式，方阵 A = Pˉ¹BP ，两端取逆。
                    Aˉ¹ = （(Pˉ¹)BP）ˉ¹  ，即  Aˉ¹ = Pˉ¹Bˉ¹P
           结论：如果 A与B 相似，则 Aˉ¹ 与 Bˉ¹ 也相似。关联矩阵 P 不变。

       例69      试证明满秩矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是，A* 与 B* 相似
       分析  设 A 与 B 相似，关联矩阵为 P，对定义等式两端取“伴”（即取*），得      
                     A* = （(Pˉ¹BP）* = P*B*(Pˉ¹)*
由    P* = | P| Pˉ¹，(Pˉ¹)* = | Pˉ¹| P ，得  A* = Pˉ¹B* P ，A* 与 B* 相似。
     （画外音：或对定义等式两端取逆，  Aˉ¹ =  Pˉ¹ Bˉ¹ P ，A与B 相似 则 | A| = | B|，于是         
                  | A| Aˉ¹ = | B| Pˉ¹Bˉ¹P    ，即 A* = Pˉ¹ B* P   
           如果设 A* 与 B* 相似，关联矩阵为 P ，A* = Pˉ¹ B* P ，即
             | A| Aˉ¹= Pˉ¹ | B| Bˉ¹ P ，消去行列式后等式两端取逆，即可完成证明。
       方阵相似关系的性质 ——
            （1）相似关系有传递性。即若矩阵A与B 相似，B与C 相似，则A与C 相似。
       （2）相似的矩阵一定等价。
       （潜台词：由乘积的秩关系知，相似矩阵的秩相等。）
       （3）相似矩阵有相同的特征值。
       （潜台词：相似矩阵的行列式相等。相似矩阵有相同的特征多项式。相似矩阵不一定有相同的特征向量。）
       （4）矩阵A与B相似，φ(t)是个多项式，则多项式矩阵 φ(A)与φ(B)相似。
        实际上，若有满秩矩阵 P ，使得 A = Pˉ¹ BP ，则
                 A的k次方 = A•A•…… •A  = Pˉ¹ BP•Pˉ¹ BP•……•Pˉ¹ BP =  Pˉ¹（B的k次方）P            
          （乘法满足结合律）,  这就表明，（A的k次方）与（B的k次方）相似。
                  ……      ……
              A - λE 就是个一次多项式矩阵，相应着一次多项式 t - λ  ；因而若矩阵 A 与B 相似，则
矩阵 A - λE和矩阵 B - λE相似。

          2，方阵A与对角阵相似的充分必要条件
              《线性代数》的第二板块的中心问题是“方阵A与对角阵相似的充分必要条件。”
           中心定理    n 阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是，A有n个线性无关的特征向量。
         中心定理的证明，只不过是矩阵乘法表达方式的一个变化，加上矩阵相等的定义。这对每个学生都是一个很好的练习.
         设有满秩矩阵P，使得，Pˉ¹ AP = Λ（对角阵），即 AP = PΛ，且设对角阵Λ的主对角线上元素为
                    λ1，λ2，  ……，λn
                把P按列分块，  A（ξ1，ξ2，------，ξn） = （ξ1，ξ2，------，ξn）Λ
进而有         （Aξ1，Aξ2，------，Aξn）=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn）
       （潜台词：左边（1×1）（1×n），右边（1×n）（n×n），乘积都是（1×n）阶列分块阵。）
         最后用矩阵相等的定义得  A ξ j = λj ξj    ，j =1，……，n     ，各运算式皆可逆。
         中心定理的证明过程表明，若n 阶方阵A 能与对角阵相似。则这个对角阵Λ 的主对角线上元素就是它的 n 个特征值。相应的 n 个线性无关的特征向量（列）排成关联矩阵 P
                由特征值与特征向量知识直接得到判定定理（充分条件）：
        （1）若n 阶方阵 A 有n个单特征值，则 A 能与对角阵相似。
        （2）若n 阶方阵 A 的每个重特征值都不亏损，即每个k 重特征值拥有的特征向量集的秩一定为 k，则 A 能与对角阵相似。
        （潜台词：重特征值亏损的严重后果是，矩阵不能与对角阵相似。）
         例70  二阶方阵A满足 | A|< 0 ，A一定能和对角阵相似。
          分析   由特征多项式 φ(λ)=|A-λE | 知 φ(0)= |A|，即（二次的）特征多项式常数项为|A|，其两根之积为负，两根反号，当然都是单特征。
           例71  (杂谈)
                 （1）        零矩阵是最特殊的对角阵。它有n重0特征值。
          （2） 把关联矩阵P取成单位矩阵E，就能说明每个对角阵与自己相似。
          （3）  主对角线上全是数0的上（下）三角阵也具有n重的0特征。但是这些上（下）三角阵的秩大于或等于1，因而它们不能和对角阵相似。
         （潜台词：随便写一个都是反例，A与B有相同的特征值，A与B不一定能相似。）
          （4） 如果对某一自然数k ，A的 k-1次方≠ 0（阵）而   A的 k次方 = 0（阵），就称A是“幂零阵”。显然“幂零阵”A有n重0特征值。“幂零阵”A不能与对角阵相似。
          （5）把 n个实数放到主对角线得到对角阵。无论按照什么顺序放，所产生的对角阵都彼此相似。
这是因为，我们选定其中一个对角阵以后，其它顺序的对角阵都是由它的特征值排成的。由相似关系的传递性知它们彼此相似。

         基本研考题 —— 利用三阶方阵A能与对角阵相似的条件,求A中参数
               借助于A有重特征的情形，考试中心编制了又一类大分值考研试题——
          “已知含有参数的矩阵A能与对角阵相似，且A有一个二重特征值，试确定A中的参数值。”
          数学二的考题也达到了这个难度。要拿分吗，先背熟相应的逻辑推理。
         由于解一元高次方程的困难，研考题通常是给一个含参数的3阶矩阵A ，A有一个单特征和一个二重特征值λ
                例72（基本推理）
         A能与对角阵相似 —→ A有 3个线性无关的特征向量
                             —→ A的属于二重特征值λ的特征向量集的秩一定为2  
                                                        —→ 齐次线性方程组（A-λE）x = 0的解集秩为2
                                                               —→该方程组系数矩阵A-λE的秩只能为 3-2 = 1  
                                                                          —→ A-λE的二阶子式全为0
                                                                                 —→挑选A的一个含有参数的二阶子式，令其为0得方程。
         解方程求得参数。

         3.  矩阵A能与对角阵相似的初步应用
               一个矩阵 A 能与对角阵相似，有什么好？随便说几条。
       （1）矩阵 A 与对角阵Λ 相似，且 秩r (A) = r ，则显然 λ= 0 是 A 的 n - r 重特征值。
       （潜台词：相似矩阵有相同的特征值。特征值看对角阵。
       （2）矩阵 A 与对角阵Λ 相似，且 秩r (A) = r ≠ 0 ，则 A的k次方 与 Λ的k次方 相似。所以，A的k次方矩阵的秩也为 r ，换句话说，A 一定不是“幂零阵”。
        （3）A 的 k次方难解。如果矩阵 A 能与对角阵相似，我们可以求出它的n个特征值，及相应的n 个线性无关的特征向量，再排出关联矩阵P和对角阵Λ，由定义式  Pˉ¹（A的k次方）P  = Λ的k次方    ,就能反解出（A的k次方）。
        这是一类出现频率较高的大分值考研试题。
       （4）矩阵 A 能与对角阵相似，则 A 有 n 个线性无关的特征向量。把它们选为n维向量空间的（坐标）基，会给应用带来很大的方便。
               ---------------------------     ……     -------------------------
               啊！大学数学《线性代数》的理论精髓就集中体现在这儿了。理解一遍，就是一次实实在在的总复习。坡度较高，但是路径简明单一。

      （49）锦上添花对称阵

              一般的方阵可能有复的特征值，这会给我们带来额外的困难。
         1.对称阵A的特征值与特征向量
              对称阵A的特征值与特征向量有与众不同的3个特点。
       （1）对称阵A 的 n 个特征值一定都是实数。
       （2）对称阵A 如果有重特征值，则每个 k重特征值所拥有的特征向量集的秩一定等于重数 k  。即每个重特征值都不会亏损。
       （3）对称阵A 的属于不同特征值的特征向量正交。
        有了（1）和（2），就已经保证了，每一个对称阵都能与对角阵相似。且相关的计算，无论是计算特征值还是计算特征向量，都能保持在实数范围内进行。
        这样一来，非零的对称阵A 一定不是幂零阵。  且一定有   （A的k次方）的秩 = A的秩
         n 维向量空间的标准正交基 ——
              特点（3）锦上添花。如果对称阵A 有 n个单特征。那么，相应的 n 个线性无关的特征向量天然地两两正交。只需逐个单位化，就能得到 n 个特征向量的标准正交组。
        如果对称阵A 有重特征，可以运用斯密特正交化方法，先将每个重特征所拥有的特征向量集最大无关组标准正交化，近而合并得n个特征向量的标准正交组。
        *这是 n 维向量空间的标准正交基，就象三维空间的坐标基 i ，j ，k

               2.正交阵与*对称阵A的“谱分解”
              定义（正交阵） —— 列（或行）向量组是标准正交组的方阵称为正交阵。
        由定义可以直接验算：
        结论1.   矩阵 A 是正交阵的充分必要条件是， Aˉ¹ =  Aˊ
      （潜台词：别忘了矩阵乘法的基点是“左行右列作内积”。 由定义与“标准正交”性，显然    AˊA = E ）
        结论2.   A 是正交阵 —→ | A| = ±1
              结论3.      只有两类正交阵。或 a ij = A i j   或  a ij = -A i j     实际上， A* = | A|•Aˉ¹ ，从而  A* = ±Aˊ，联想 A* 的组成方式就自然知结论对。
      （画外音：“结论2”是个很有趣的构造结论。如果你用n个标准正交的列向量排成一个正交阵。利用结论2可以验算，正交阵的行向量组自然也是标准正交组。）

       典型计算 ——
           （1）已知对称阵A 或 A 的特征值，求正交阵 P ，使得  Pˉ¹A P = Λ   即  PˊA P = Λ
             实际工作量只不过是求 A 的特征值，特征向量，标准正交化，排出正交阵 P
             最重要的是，“求正交变换 P ，把二次型化为标准型”的计算也就全都在这里了。
       （ 2）已知对称阵A 的特征值及特征向量，用公式 A = PΛPˉ¹ ， 即  A = PΛPˊ  反求矩阵A

             对称阵A的“谱分解”——        
             把 P 写为列分块形式，P =（ξ1，ξ2，------，ξn），则 Pˊ自然为行分块形式，其第i 行为 ξi ˊ 且
              PΛ=（λ1ξ1，λ2ξ2，------，λnξn） （潜台词：左乘在行，右乘在列。）
进而           A = PΛPˊ=λ1ξ1ξ1ˊ+λ2ξ2ξ2ˊ+ …… +λnξnξnˊ
这样一来，对称阵A在理论上被表示成为n个秩为1的矩阵的线性组合。表达式称为对称阵A的谱分解。
       （潜台词：宏观可乘，（1×n）（ n×n ）（n×1）=（1×1）
           微观可乘，比如 ξ1ξ1ˊ，（n×1）（1×n）=（ n×n ）
           愉快的矩阵乘法：“左行右列作内积，对应分量积相加。左列右行得矩阵，矩阵的秩不超1 。”）

          例79   对称阵A主对角线上元素之和，等于它的n个特征值的和。
             分析      A = PΛPˊ=λ1ξ1ξ1ˊ+λ2ξ2ξ2ˊ+ …… +λnξnξnˊ
                 显然，矩阵ξ1ξ1ˊ的主对角线上元素之和为1，故λ1ξ1ξ1ˊ主对角线上元素之和为λ1 ，
          同理，λ2ξ2ξ2ˊ主对角线上元素之和为λ2 ，λnξnξnˊ主对角线上元素之和为λn
                  n 项相加即有本题结论。
          例80   设三阶实对称阵的A秩为2，λ= 6是A的二重特征值，若ξ1=（1，1，0）ˊ，ξ2 =（2，1，1）ˊ，ξ3 =（-1，2，-3）ˊ都是A的属于λ= 6的特征向量
        （1）求A的另一特征值和对应的特征向量  （2）求矩阵A
                 分析   因为A的秩为2，所以A有单特征0
                 对称阵A的二重特征值λ= 6相应的特征向量集秩为2，显然ξ1与ξ2线性无关，可以选为其最大无关组。
          设属于单特征0的特征向量为（x，y，z），它与ξ1及ξ2都正交。利用正交性得出两个方程，可解得
ξ3 =（-1，1，1）ˊ，进而得特征向量标准正交组
                （1/√2，1/√2，0）ˊ ，（2/√6，1/√6，1/√6）ˊ ，（-1/√3，1/√3，1/√3）ˊ
          A有单特征0，用“谱分解”方法算
                         （3   3   0）                （4   2   2）      （7  5  2 ）
           6ξ1ξ1ˊ= （3   3   0）    6ξ2ξ2ˊ=（2   1   1）   A =（5  4  1 ）
                         （0   0   0）                 （2   1   1）      （2  1  1 ）
          高分值题，算错可惜。一定要认真算好两三个这样的题。

          3.  方阵的合同关系         
          定义 —— 如果存在满秩矩阵P ，使得 A = PˊBP ，就称方阵 A 与 B 合同。
          对于对称阵A，我们选择它的n个特征向量标准正交组来排成关联矩阵P，即P是正交阵。那么，  
                    Pˉ¹AP = Λ（A的n个特征值排成的对角阵）  即  PˊAP = Λ
                这就是说，每一个对称阵A ，与它的n个特征值所排成的对角阵Λ既相似又合同。
          尽管考研大纲要求“合同关系”。但教材内容很少。这一条特别要记熟。

          请对比 —— 矩阵A 和B “等价”，矩阵A 和B “相似”，矩阵A 和B “合同”：
          矩阵A 和B等价的充分必要条件是，存在满秩方阵J、Q，使得  JAQ  = B
                  矩阵A 和B相似的充分必要条件是，存在满秩方阵P，   使得  Pˉ¹AP = B
                  矩阵A 和B合同的充分必要条件是，存在满秩方阵Q，   使得  QˊA Q = B
显然，相似或合同的矩阵都等价。

          线性运算在对称阵集合中是封闭的。而矩阵乘法在这里不封闭。即“对称阵的乘积不一定是对称阵。”其原因在于矩阵乘法不可易。
          我在这里说的，比一般教材要多些。愿你能更全面地了解对称阵。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-6-8 22:19 编辑 ]

wubingwinner

老师辛苦啦 谢谢啦

huweiaching

向楼主提一个问题.困扰我好久.就是关于对称阵求其对角化,明明可以直接运用对相似对角化的方法来解决.为什么要求正交阵来解决呢?望赐教,感谢

战地黄花

锦上添花别样红, 道路条条选最佳.
"佳"在何处,最低限度可以在应用中用 Pˊ而不去计算 Pˉ¹
往高处看, 理论上请体会, " 对称阵A的“谱分解”" ,
                      请体会  ，"“求正交变换 P ，把二次型化为标准型”的计算也就全都在这里了。"

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-6-8 22:08 编辑 ]

songkan123

感谢战地老师，您老都这么大年龄了，为了我们考研的，每天几个小时的发帖，真的很感动呀！[em:15]

huweiaching

老师的意思是说,我们求正交阵的目的是为了简化计算,不用去计算P的逆矩阵,直接用转置吗?学生愚顿,麻烦老师能多讲解下,谢谢

liudany

谢谢老师！！

战地黄花

是的.最低最低限度的好处.        (结论1.   矩阵 P 是正交阵的充分必要条件是， Pˉ¹ =  Pˊ)
P 是正交阵,则  PˊAP = Λ 与 Pˉ¹AP = Λ 是一回事.

bj270278245

绝对的好帖！

linyan88840203

真棒