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有意思(5).定积分上限函数与“磨光变换”

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发表于 2010-5-6 20:56 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
       被积函数是连续函数 f(x)的定积分上限函数 F(x)可导,且导数就是 f(x)。
               逆向思维,这就用“构造法”证明了:连续函数一定有原函数
        把“作上限函数”视为一种变换方式,从条件上看,相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。《广义函数》理论中,在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施变换,就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。
         当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大集训中,他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时,决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列,很快地完成了解答。自信无误之际,竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时,记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”,好不吓人哦。
         这里有一个联想,如果 f(x)仅有第一类间断,那么相应的上限函数是否一定连续呢
         结论是,“相应的上限函数一定连续。”
              (画外音:考研题中出现过一次。)
         在《概率统计》中,连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负,证明这个结论,用连续的增量定义最简明。
         要注意的是,设 f(x)有跳跃间断点 a ,相应的上限函数在点 a 虽然连续,却一定不可导。即 改善是有一定限度的。
         要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。
         实际上,设点 a 左側,f(x)= 初等函数φ(x),右侧 f(x)= ψ(x),φ(x-0)≠ψ(x+0) 形成跳跃间断。记 f(x)相应的上限函数为 F(x),则 F(x)在点 a 连续,但是
         左側求导 F′(x) = φ(x) ,右側求导 F′(x) = ψ(x)  ,φ(x-0)≠ψ(x+0)
F(x)在点 a 不可导。
         在点 a 的邻域内,F(x)不是 f(x)的原函数。      
                相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。


[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-6 21:00 编辑 ]
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    发表于 2010-8-15 11:21 | 只看该作者
    对于这个问题我是这样理解的,如果 f(x)仅有第一类间断,不难想象他的几何意义,即f(x)与横坐标轴所围成的面积一定是连续变化的,即“相应的上限函数F(X)是否一定连续”,而在此间断点,虽然F(X)连续,但未必可导,从图像上来看此间断恰是一个转折点。那么显然就有F(x)不是 f(x)的原函数。
    我不是数学专业,本科阶段只学了最简单的微积分,严谨的数学推理对我来说不可能(这不是一天的功夫),短期也没必要。[em:18]
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    发表于 2010-8-15 11:31 | 只看该作者
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    发表于 2011-8-24 11:27 | 只看该作者
    如果 f(x)仅有第一类间断,那么相应的上限函数是否一定连续呢结论是,“相应的上限函数一定连续。战地老师,你好,对这个问题我还无法理解,我记得原来我看书时记得上面说:如果 f(x)仅有第一类间断,那么相应的上限函数一定不连续,而当如果 f(x)存在第二类间断,那么相应的上限函数要具体的分析才可判断? 希望老师能解答
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    发表于 2011-8-24 13:19 来自手机 | 只看该作者
    lhclhx 发表于 2011-8-24 11:27
    如果 f(x)仅有第一类间断,那么相应的上限函数是否一定连续呢?结论是,“相应的上限函数一定连续。战地 ...

    f(x)一类间断是原函数一定不连续
    换个头像,换种心情
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    发表于 2011-8-24 21:20 | 只看该作者
    06443420 发表于 2011-8-24 20:39
    我明白你的意思,我的意思可以归结为这样一句:f(x)在a处有跳跃间断点时(也是第一类啊),f(x)在a处有定义 ...

    。。。
    原函数存在于否一定要相对区间而言,脱离区间谈原函数是无意义的。这就像无穷小 无穷大的描述一样:1/x是x-->0时的无穷大,但是我们不能说1/x是无穷大
    一个道理,假设f(x)定义域为R,那么F(x)是f(x)(-无穷,a)(a,+无穷)的原函数,F(x)不是f(x)(-无穷,+无穷)的原函数
    单讲F(x)是不是f(x)的原函数和单问1/x是不是无穷大一样,这怎么能判断?
    换个头像,换种心情
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