有意思（5）.定积分上限函数与“磨光变换”

战地黄花

       被积函数是连续函数 f（x）的定积分上限函数 F（x）可导，且导数就是 f（x）。
               逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。
        把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件上看，相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。《广义函数》理论中，在不光滑点（连续不可导点）微局部地实施变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。
         当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。
         这里有一个联想，如果 f（x）仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢？
         结论是，“相应的上限函数一定连续。”
              （画外音：考研题中出现过一次。）
         在《概率统计》中，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。
         要注意的是，设 f（x）有跳跃间断点 a ，相应的上限函数在点 a 虽然连续，却一定不可导。即 改善是有一定限度的。
         要证明这个结论正好用上我的“有意思（4）右导数与导函数的右极限”。
         实际上，设点 a 左側，f（x）= 初等函数φ(x)，右侧 f（x）= ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0) 形成跳跃间断。记 f（x）相应的上限函数为 F（x），则 F（x）在点 a 连续，但是
         左側求导 F′(x) = φ(x) ，右側求导 F′(x) = ψ(x)  ，φ(x-0)≠ψ(x+0)
F（x）在点 a 不可导。
         在点 a 的邻域内，F（x）不是 f（x）的原函数。      
                相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-6 21:00 编辑 ]

dounaiman

对于这个问题我是这样理解的，如果 f（x）仅有第一类间断,不难想象他的几何意义，即f(x)与横坐标轴所围成的面积一定是连续变化的，即“相应的上限函数F(X)是否一定连续”，而在此间断点，虽然F(X)连续，但未必可导，从图像上来看此间断恰是一个转折点。那么显然就有F（x）不是 f（x）的原函数。
我不是数学专业，本科阶段只学了最简单的微积分，严谨的数学推理对我来说不可能（这不是一天的功夫），短期也没必要。[em:18]

lhclhx

如果 f（x）仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢？结论是，“相应的上限函数一定连续。战地老师，你好，对这个问题我还无法理解，我记得原来我看书时记得上面说：如果 f（x）仅有第一类间断，那么相应的上限函数一定不连续，而当如果 f（x）存在第二类间断，那么相应的上限函数要具体的分析才可判断？ 希望老师能解答

06443420

lhclhx 发表于 2011-8-24 11:27
如果 f（x）仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢？结论是，“相应的上限函数一定连续。战地 ...

一年前的坟帖都挖上来了。。。。。我不确定你说的上限函数是不是积分函数，如果存在第一类间断点，它的积分函数是连续的，只不过在那点一定不可导，第二类间断点的具体分析

ssqaaaaaaaaa

lhclhx 发表于 2011-8-24 11:27
如果 f（x）仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢？结论是，“相应的上限函数一定连续。战地 ...

f(x)一类间断是原函数一定不连续

ssqaaaaaaaaa

06443420 发表于 2011-8-24 11:43
一年前的坟帖都挖上来了。。。。。我不确定你说的上限函数是不是积分函数，如果存在第一类间断点，它的积 ...

1、存不存不原函数是相对区间而言，不是相对全体定义域而言
2、原函数可以分段表示

06443420

ssqaaaaaaaaa 发表于 2011-8-24 15:53
1、存不存不原函数是相对区间而言，不是相对全体定义域而言
2、原函数可以分段表示 ...

我这样理解你的意思对吗？把每一PART连续的单独考虑，这样每一PART都有相应的原函数，然后每一PART的原函数合起来，成为一个分段函数，就是f(x)的原函数。而分段点就是f(x)的第一类间断点。
但此时分段点(设为a)的导数，是不会等于f(a)的，以下是全书的证明:

因为在分段点的求导没可能等于该点f(x)的值，因此严格来说，这个分段函数不算是f(x)的原函数，f(x)不存在原函数。而且，能被称为原函数的函数，在每一点上必然可导，可导必连续

ssqaaaaaaaaa

06443420 发表于 2011-8-24 16:39
我这样理解你的意思对吗？把每一PART连续的单独考虑，这样每一PART都有相应的原函数，然后每一PART的原函 ...

1、原函数相对区间而言，区间不需要=全体定义域。将讨论区间定义为挖去x=a点的定义域，F(x)为f(x)原函数
2、很显然，F(x)在x=a处间断

06443420

ssqaaaaaaaaa 发表于 2011-8-24 17:48
1、原函数相对区间而言，区间不需要=全体定义域。将讨论区间定义为挖去x=a点的定义域，F(x)为f(x)原函数
...

我明白你的意思，我的意思可以归结为这样一句:f(x)在a处有跳跃间断点时(也是第一类啊)，f(x)在a处有定义，而F(x)在a处却不可导，F(x)还能称为f(x)的原函数吗?