考研数学讲座（17）论证不能凭感觉

战地黄花

一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

    1.   x 趋于∞时，求极限  lim xsin（2x∕(x平方+1)  ,你敢不敢作等价无穷小替换?

        分析   只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。

     x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小，

     sinα（x） ~ α（x）且 sinα 处于“因式”地位。可以换。

     等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2

         2.  设 f(x) 可导，若 f(x) 是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数 fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性） ？
     分析  有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如

          奇函数   f(-x)= -f(x)          周期为T的函数   f(x+T)= f(x)

等式两端分别求导，得 fˊ(-x) = fˊ(x)             fˊ(x+T)= fˊ(x)

（实际上，由复合函数求导法则， （f(-x)）ˊ= fˊ(-x) (-x)ˊ= -fˊ(-x)）

     所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如 y = x + sinx ，的导数却是周期函数。

    （ 潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）

      单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。

      如 y = x 单增，yˊ = 1 不是单调函数。y = sinx 在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。

      有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x 趋于x0 时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x 轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。

       取 y =√（1-x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。

       这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

      （画外音：写出来很吓人啊。  x → 1 时 ，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x) = -∞ ）

      3.   连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？
      分析  连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：

       取分段函数 g（x）为，x  > 0 时 g =1   ，  x ≤ 0 时 g = -1，0是其间断点。

       取 f（u）=√u ，则 f（g（x））= 1 在 x  > 0 时有定义且连续。

还有一些原因让“病态点”消失。

      如果只图简单，你可以取 f（u）为常函数。以不变应万变。

      取 f（u）= u 的平方 ，则 f（g（x））= 1 ，显然是个连续函数。

      4.     设 f (x)可导，若x趋于 +∞ 时 ，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞

          分析  稍为一想，就知为否。 例如  y = x

          更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞ 时 ，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。

      5.    设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有  lim f(x) = +∞

          分析  用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）：

      因为 lim fˊ(x) = +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x > x0 时，总有 fˊ(x)>1

          用拉格朗日公式给函数一个新的表达式   f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x-x0) , x0 <ξ＜ x   

             (潜台词: ξ = ξ(x) 。你有这种描述意识吗？)

         进而就有,  x >x0 时,  f (x) >f (x0) + 1(x-x0)    （画外音：这一步是高级动作。）

因为 f (x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f (x) = +∞

         6 。 设 f (x)可导，若 x 趋于 -∞ 时，lim fˊ(x) = -∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞

         分析  否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。

        请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是  

        若 x  趋于 -∞ 时，lim fˊ(x)= -∞ ,  则必有   lim f (x) = +∞

        7.  设 f (x) 可导，若 x 趋于+∞时，lim f (x) = c（常数，）是否必有 lim f ˊ(x) = 0
            分析  否。lim fˊ(x) 有可能不存在。

       这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”

            想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

        由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如，

        曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。

        对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在，则必有 lim fˊ(x) = 0

              用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x) = A >0

              与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x>x0 时，总有 fˊ(x) > A/2 ，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住 ξ ，从而有

         f (x) >f (x0) + A(x-x0) /2 —→+∞               矛盾。

         8.   函数在一点可导，且导数大于0 ，能说函数在这一点单增吗？

        分析  不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即   x 趋于x0 时，lim ( f (x)-f（x0））/ （x-x0）> 0

             如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f (x) > f（x0） 。但是，我们不知道函数值相互间的大小。

       *9  设f (x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b) < 0 ，则（a，b）内必有点c ，fˊ(c) = 0
            分析  对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

        在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a) > 0  而  fˊ(b) < 0

              分别在a ， b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：

          函数的端值 f (a)，f (b) 都不是 f (x)在[a，b] 上的最大值。

         最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0

               好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-4 08:19 编辑 ]

战地黄花

可以一看

fanfanjing

概念条条在理

wubingwinner

多么美好啊 数学也可以这样去理解呀

wubingwinner

多么美好啊 数学也可以这样去理解呀

sdc2010

战地老师，导数条件管住 ξ是什么意思？出现过好多次，但是我没能理解
还有，第八个，能解释一下为什么不是单增的么？不是x0右边的大于f（x0），左边的小于f（x0）么？

战地黄花

(1)比如，已知导函数恒正，则 ξ点处的

战地黄花

想想单调的定义。不能只与一个点比函数值的大小。

sdc2010

第一题你好像没写完整
第二个还是转不过弯来[em:15]

sdc2010

战地老师，某点单增是什么意思？它具体是个多大的邻域，第八题，我总认为在一个无限小的邻域是单增的，我现在明白你的意思了，你是说他们只比x0大，但是相互之间不知道谁大谁小，那邻域足够小时，是不是单增的呢？在一点单增是什么意思？谢了