有意思（4）右导数与导函数的右极限

战地黄花

    （每段是初等函数的）分段函数求导，分界点处用定义计算，各段用法则与公式。老老实实地记与做，既简明又少犯错误。
     当然，你可以懂得更细一点。
     可导一定连续。不连续必然不可导。连续是讨论可导性的前提。     函数在点 a 可导的充分必要条件是左右导数存在且相等。
     在定义分界点 a 的一侧，比如右则。可以用定义求得右导数。同时，在右側这一段内，你用法则与公式求出了导函数。自然就会产生一个想法，能否以此求极限得到点 a 的导数。这是锤炼知识及思维细密性的好时机。

     1   如果求极限，是求导函数在点a的右极限。这个右极限存在吗？

     2   按照定义求右导数。“右导数”与“导函数在点 a 的右极限”是两回事。

     3   如果这个右极限存在，它和“右导数”相等吗？

     用拉格郎日公式可以证明，“如果导函数在点 a 的右极限存在，则函数在点 a 的右导数一定存在，且两者相等。”（一个好练习题！）
     左侧可以类似讨论。
      结论：验证了分段函数在分界点 a 连续后 ，在两边区间内各自求导。令 x 趋于 a  ，分别求导函数的极限。若两者相等，它就是函数在点 a 的导数。若两者不等，函数在点a不可导。
     前题很清晰，这样处理也可以。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-6 21:11 编辑 ]

chonini

单侧极限存在，单侧导数一定存在；极限不存在，导数可能存在。。。
战地老师，我有个问题，是不是说如果导函数趋于点a的双侧极限存在且相等，则函数在点a一定可导！而且导函数在此点a一定连续？？
老师能不能讲得再仔细点，还有，怎么判断导函数的连续呢？？[em:18]

战地黄花

(1)记住前提:先验证了函数在分界点处连续!!!!!!!!!!!
(潜台词:有时候,这个工作量也不小.)
(2)在此前提下,你的理解正确.即
"如果导函数趋于点a的双侧极限存在且相等，则函数在点a一定可导.而且导函数在点a一定连续."
         最好是完整地说:
         "如果分段函数在分界点处连续,且两側的导函数极限存在且相等，则函数在分界点可导.导数就是极限值.这时,导函数在分界点连续."
        (3)"导函数在点a一定连续."是此时的客观存在事实.
        (4).要把问题彻底弄懂,必须自己练习一遍.我把过程提示如下:
            验证了函数在分界点处连续后,写出右导数定义式
       对右导数定义式中的增量商运用拉格朗日公式      
          求极限思考结果

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-4 08:00 编辑 ]

chonini

http://bbs.kaoyan.com/viewthread ... ;page=1#pid30897194
这个也挺有意思，能帮看看嘛？

战地黄花

与有意思(5)配合看

sdc2010

老师，所有分段函数的在间断点的导数都可以用两种方法了对吧？大不了就是不存在

战地黄花

对，要么直接用定义考查，要么先考查连续性，……。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-10-7 09:09 编辑 ]

maoda_1986

老师威武~

snapeliu0718

啊 哈  我是来扒旧帖学习的 {:soso_e128:}  受教了

snapeliu0718

“如果导函数在点 a 的右极限存在，则函数在点 a 的右导数一定存在，且两者相等。”
这句话，我想到用极限定义和导数定义不用拉格朗日也可以证明
其中，证明过程中重要条件就是 此分段函数在分界点a处连续
所以，“”先验证了函数在分界点处连续!!!”很重要啊，是前提条件