考研数学讲座（8）求导熟练过大关

战地黄花

函数在一点x0可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是“函数光滑”。
       1  典型的不可导
       可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。
       最简单也最实用的反例是绝对值函数 y =∣x∣。这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点x = 0 两侧分别用定义计算，易算得右导数为 1 ，左导数是 －1
            进一步的反例是 y =∣sinx∣在点 x = 0 和 y =∣lnx∣在点 x = 1 连续而不可导。
       从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。
       连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x 轴上方。
       y =sinx  在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是y =∣sinx∣的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。
       这是否是一个普遍规律？不是！比如 y = x立方 与 y = | x立方 |  在 x = 0 点都可导。
       函数 y = x立方 的图形叫“立方抛物线”。在点 x = 0，函数导数为 0，图形有水平的切线横穿而过。（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x = 0 是立方函数的重零点。
       综合上述, 在f (x) 恒为正或恒为负的区间上，曲线 y = | f (x) | 和曲线 y = f (x) 的光滑性是一致的。只有在f (x) 的零点处，才可能出现曲线 y = f (x)光滑而曲线 y = | f (x) | 不光滑的状况。
            数学三的考巻上有过这样的4分选择题。
       例31    f (x) 在点x = a 可导，则 | f (x) | 在 x = a 不可导若函数的充分必要条件是
                   （A） f (a) = 0且 f ′(a) = 0      （B） f (a) = 0 且 f ′(a) ≠ 0
                                  （C） f (a) > 0 且f ′(a) > 0      （D） f (a) > 0 且 f ′(a) ＜ 0
            分析  如果没有思路 ，首先联想 y = x  与 y =  | x | 即可排除（A）；
       俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。
     （画外音：如果用代数语言，f (x)可导，f (a) = 0，而f ′(a) ≠ 0，则点a是f (x)的单零点。这道题该算擦边题。）
       2．讨论深化
       我在讲座（2）中举例，“连续A + 不连续B = ？”
       如果，“连续A + 不连续B = 连续C”  则  “ 连续C －连续A = 不连续B”
这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。
       推理的关键在于，逆运算减法可行。
            自然类似有： 可导A +（连续 ）不可导B  = 不可导C。比如 y = x +∣sinx∣在点 x = 0 不可导。
       例32    函数 f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可导点是（？）
       分析   函数为“和”结构。无论是∣sin x∣的不可导点或∣cos x∣的不可导点，都是 f 的不可导点。即
                x = kπ  与  x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…
        更深化的问题是： 可导A × (连续)不可导B ，是可导还是不可导？     比如 y = x ∣x∣在点0可导吗？
        与“和”的情形相比，积的逆运算不一定可行。  当且仅当 A≠0 时，才有 C/A = B  所以
       结论1，若 f（x）在点 x0 可导，且 f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不可导，则积函数 y= f（x）g（x）在点 x0 一定不可导。
       结论2（*例33）已知函数 f (x) 在点 x = a 可导，函数 g (x) 在点 x = a 连续而不可导，试证明
              积函数  F（x）= f（x）g（x）在点 x = a 可导的充分必要条件是 f (a) = 0.
            证明 先证充分性，设  f (a) = 0  则  F (a) = 0
             令    h→0 ,    F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h
                                                 = (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）
                            = f ′(a) g（a）
       再用反证法证必要性。设函数F (x)在点x = a可导而f (a) ≠ 0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x = a的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。
       例34    设函数 f（x）可导，F（x）= f（x）（1+∣sinx∣），则 f（0）= 0 是F(x)在x = 0处可导的  
                  （A）充分必要条件。         （B）充分而非必要条件。
                   （C）必要而非充分条件。     （D）既非充分又非必要条件。     （选（A））
        分析 1+∣sinx∣是可导函数+连续不可导函数类型，在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A）
        例35   函数 y =（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可导点的个数是       
                      （A）3          （B）2          （C）1            （D）0     
              分析  函数 y 具“积”结构。y = f（x）g（x），可导函数 f（x）= x平方－x－2 只有两个零点    x = –1，x = 2，而连续函数 g（x）= ∣x立方－x∣有不可导点 x = 0，x = 1，x = –1；（即 x3－x 的三个零点。）其中有两个不是 f（x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B））。
         实际上，x = –1 是积函数的而重零点。
         3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）
        函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。
        求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？
        对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）：
       “是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？”
        对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：“是对表达式中的哪一个变元求导？”
        对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导      
        对幂指型函数求导，视 y = f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出 y ′
          还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。
        没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-3-2 18:35 编辑 ]

战地黄花

典型的不可导,"构造法"的标准思维.

战地黄花

实实在在了解连续函数.

战地黄花

你过关了吗?!

战地黄花

还值得一读

20266

看起来很乱啊。
我有个疑问，就是如果函数在一点的左右导数相等，则这点的导数存在，这时 导函数 在这一点连续吗？

[ 本帖最后由 20266 于 2010-5-3 20:50 编辑 ]

战地黄花

x →x0时，导函数的极限不一定存在。
请看我的贴子“有意思（4）……”。

qq314187079

不错！

dajiaobao

非常不错，赞一个~

tian632671313

针对你这个问题，导函数在这个点是连续的。。。。