命题“导函数一定不存在第一类间断点”的简单证明

雷西儿

原帖由 guan_y 于 2009-7-21 20:17 发表
哥们，我最近很少来了，一直没回复你，很高兴你能关注这个问题。

前面几何意义的帖子，思路很巧妙，也正像你说的那样，直观但是不严谨。

后来这个证明，我仔细看了，前面没问题，f(x)有一个间断点x0 ，说明f(x)在x0的去心邻域内连续，由 ...

恩 针对你的疑问 我给个仔细的推导 就针对x0处F(x)的可导性讨论吧

图片中的两个式子 第三个等式是利用积分中值定理 最后一个等号是用了去心领域内的连续性

最后是关于那个加C的说明 我觉得还是必要的 因为我们现在的目的不是要找一个F(x) 而是要论证所有的F(x)都在x0处不可导 即找不到F(x)
否则人家有疑问 你只排除了一个（不加C的） 而没有排除所有 那如何能确保有第一类间断点的函数没有原函数？所以这个说明还是要的

你先看下 有疑问我们再讨论

[ 本帖最后由 雷西儿 于 2009-7-21 21:39 编辑 ]

雷西儿

其实上面这个证明过程是通用的 对连续点 和第一类间断点（去心邻域连续）都可用
因为其涉及的是导数的本质 从定义出发的
通过以上两个式子可以看到

在f(x)的所有连续点处 均有a=b 即F(x)的左右导数相等 即F'(x)=f(x)
但在第一类间断点处 a b不等 从而F(x)在该点不可导
故有定论：
有第一类间断点的函数f(x)不存在原函数 即可导函数的导数（导函数）不存在第一类间断点

但以上过程对第二类间断点不适用！故我们不能由此推证有第二类间断点的函数也不存在原函数
需另作讨论 实际上经过研究可以发现 有第二类间断点的函数可能存在原函数

guan_y

不错，积分中值定理，很巧妙，你的这个证明应该没有问题了，思路的确比我的清晰，而且很严谨。
而且这样处理，在前面构造原函数的时候只要说明F(x)在x0的去心邻域内是f（x）的原函数即可，至于F(x)在x0点是否有意义、是否是f(x)的原函数（是否可导），可以完全不用考虑了。

你我的证明过程，对第二类间断点还是有一定意义的，至少可以说明一点，就是如果x0是函数的第二间断点，且这个函数存在定义域在整个x0邻域的原函数，那么这个原函数在x0点一定不可导。

至于第二类间断点的导函数的存在性，应该不用证明了，找个例子就ok了。

[ 本帖最后由 guan_y 于 2009-7-21 23:14 编辑 ]

bwlijun

达布定理啊   最近看了几个问题 最终都轨道这个定理上了

sparkmath

原帖由 guan_y 于 2009-7-21 12:29 发表
函数如果可导，那一定连续，极限式里面的那个复合函数也一定是连续的，极限换序的这个条件应该是符合的。
还有你看的达布定理的证明在哪本书上，吉米多维奇吗?如果是的话，能把导数介质定理的证明简单描述一下吗?我不学数学太 ...

华师大三版《数学分析》，呵呵，数学专业区里面有电子书，可以下一本

netepic

原帖由 雷西儿 于 2009-7-21 21:32 发表


恩 针对你的疑问 我给个仔细的推导 就针对x0处F(x)的可导性讨论吧

图片中的两个式子 第三个等式是利用积分中值定理 最后一个等号是用了去心领域内的连续性

最后是关于那个加C的说明 我觉得还是必要的 因为我们现 ...

    个人觉得,这个证明存在着漏洞.
你的证明根本思想是使用了积分中值定理,你有没有想过,f(x)作为F(x)的导函数未必是连续,甚至连可积也未必谈得上.
这种情况下积分中值定理还成立吗?

雷西儿

原帖由 netepic 于 2009-7-31 14:05 发表

    个人觉得,这个证明存在着漏洞.
你的证明根本思想是使用了积分中值定理,你有没有想过,f(x)作为F(x)的导函数未必是连续,甚至连可积也未必谈得上.
这种情况下积分中值定理还成立吗? ...

这个证明的大前提是f(x)只有一个第一类间断点
在除间断点之外都是连续的

而我用积分中值定理没有牵涉到间断点 所以在这种情况下是成立的

06003220

　翻到这个帖子，感觉不需要用什么达布定理就可以证明的呀，我来说说大家帮我看看我有哪些漏洞。
　　设f`(x)为f(x)在(a,b)区间上的导函数，则根据导函数的定义，在（a,b）区间上处处可导，包括其中的一个第一类间断点x0处也是可导的。
情况一，f`(x)在x0处左右极限不相等，一个设为m,一个设为n。则分别用定义求f(x)在x0处的左右导数，由于左右极限各自都存在，所以那个分式极限可以用l`hospital法则，把下面的x-x0求导为１，上面的求导为f`(x)，然后左右导数数值上就分别等于f`(x)在x0处的左右极限，可知左右导数不相等，这点处导数不存在，与导函数的定义区间上上处处可导矛盾，所以这种情况得证。
第二种情况，设f`(x)在xo处左右极限都相等且为k,但是导函数在这点的定义值却是h,由定义求左右导数求的都是k,说明函数在x0处可导，导数为k,但是一个函数在一点处不能有２个不一样的值k和h，与函数的定义矛盾，所以这种情况得证。
第三种，f`(x)在x0处无定义，显然是不可能的。