命题“导函数一定不存在第一类间断点”的简单证明

哲人梅

F(x)只是随便设的函数,就是用F(x)表示一下等式右边那一堆.
对于等式右边那一堆,把deta x看成一个常数,则复合函数F(x)就可以看成[f(x+c)-f(x)]/c,又因为f(x)在x0可倒,f(x)必然连续,则显然复合函数F(x)连续

guan_y

连续函数的初等运算（加减乘除）复合之后，依然是连续的，这个是显然的

guan_y

原帖由 心火燎原123 于 2009-7-19 06:58 发表
你倒说说我咋没珍惜你劳动成果了 象这样说论坛没人敢提供标答了
好心给你答案 反咬一口
对还是错 我说了不算是吧 否则又要争半天了不是

另外加句：原函数的导函数可能存在第二类间断点。（震荡间断点）
              至 ...

哥们，这个帖子的目的不是要标准答案，命题的证明有标准答案吗？这不是计算题。

仔细看看我的帖子，最后2段，不是正是说明了“函数的导函数可能存在第二类间断点”。

另外别把原函数和导函数混到一起。

你的水平别在讨论了，真的，让人笑话。

[ 本帖最后由 guan_y 于 2009-7-19 16:32 编辑 ]

水磨咖啡

楼主，论坛的基调是谦虚的
谦虚是一种美德

同时口下也要留德

别的不多说了

做学问先学做人吧

bsbgong_2010

楼主，人品。。。

雷西儿

原帖由 guan_y 于 2009-7-16 23:28 发表
看这个命题闹心了几天，今天在自习室偶然有了思路，发上来大家研究一下

319505

这个问题 也可以考虑换个角度来证明
即我们想象一下 如果一个函数有第一类间断点 它可不可能是另外一个函数的导数？
我们知道 导数的几何意义是变化率
现假设一个函数在x=x0处左边极限是a 右边极限是b 且a b不等
如果说这个函数是另一个函数F(x)的导数的话 意味着在x=x0处 左边F(x)的斜率是a 右边F(x)的斜率是b
想象一下这个图形 是一个左右两边斜率不等 即有尖点的图形 而这毫无疑问是不可导的

以上过程不是严格证明
我只是从几何意义上给出一个辅助理解“导函数不存在第一类间断点”即“存在第一类间断点的函数不可能是另一个函数的导数”的解释
有兴趣严格证明的可深入探究一下：）

sparkmath

极限交换次序是很麻烦的事情，不能说 x 与 y 无关就可以交换，要连续才可以交换，证明连续和证明没有第一类间断点基本是等价的，呵呵，你可以换个思路考虑这个问题
其实达布定理是这样说的：
若函数 f 在闭区间【a，b】上可导，且在a点的右导数不等于在b点的左导数，那么导函数可以取到两者之间的任意值
这又被称为导函数的介值定理，利用这个再去证明“导函数没有第一类间断点”就很容易了
好好想一下，按照楼主的数学功底这个肯定没有问题

guan_y

函数如果可导，那一定连续，极限式里面的那个复合函数也一定是连续的，极限换序的这个条件应该是符合的。
还有你看的达布定理的证明在哪本书上，吉米多维奇吗?如果是的话，能把导数介质定理的证明简单描述一下吗?我不学数学太久了，呵呵。

[ 本帖最后由 guan_y 于 2009-7-21 12:31 编辑 ]

雷西儿

另外给个我的证明吧 说实话楼主给的证明我看下来 感觉思路不怎么清晰
尤其是换序极限 总感觉有些别扭 当然不是说一定错了 个人体会罢了

设函数f(x)有第一类间断点 现证明其不存在原函数 不失代表性 我们讨论有一个间断点x0的情况即可

由已知 f(x)有一个间断点x0 且为第一类间断点 x0处左极限为a 右极限为b
那么f(x)可积 其积分上限函数存在 我们设为F(x)  积分上限函数的下限可任取 为方便 我们这里可取下限为x0 实际上你也可取其它值
接下来 经过验证（对F(x)按定义求导数） 可知当x不等于x0时，都有F'(x)=f(x)
那说明在x0点以外 F(x)都是f(x)的原函数
由于所有的原函数均只相差一常数 故F(x)+C就是所有可能的f(x)的原函数 只所以说是可能 是因为还有x0处未验证

但在x=x0点处 按定义对F(x)+C求导 可得左导数为a 右导数为b 由于a b不相等 故所有的F(x)+C在x0处均不可导
即存在第一类间断点的函数f(x)不存在原函数

[ 本帖最后由 雷西儿 于 2009-7-21 18:01 编辑 ]

guan_y

哥们，我最近很少来了，一直没回复你，很高兴你能关注这个问题。

前面几何意义的帖子，思路很巧妙，也正像你说的那样，直观但是不严谨。

后来这个证明，我仔细看了，前面没问题，f(x)有一个间断点x0 ，说明f(x)在x0的去心邻域内连续，由牛顿莱布尼茨可知肯定有积分上限函数的(说实话，开始有点迷糊，第一次听到积分上限函数这个命名，嘿嘿)，而且这个积分上限函数在这个去心邻域内也是连续的。

但后面在讨论F(x)是否在x0可导时，我有点疑问，若F(x)在x0点没有定义，显然不连续，也不可导，这个没问题。
但是如果F(x)在x0点有定义，你是怎么推出“F(x)+C求导 可得左导数为a 右导数为b   ”的，个人认为若得出这个结论还是要用到极限换序的，不知道你的思路是怎样的，希望您可以详细阐述一下。

还有，提个小意见，咱们的目的就是找到一个F(x)，让F'(x)=f(x)，只要找到一个就可以了，所以加c那的说明可以省略的。

[ 本帖最后由 guan_y 于 2009-7-21 20:35 编辑 ]