请教各位一个关于二次型求秩的方法问题

agooogle

04年数三填空题第四小题，求二次型的秩：
f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2

一般的解法是将各平方项展开然后合并同类项写成关于X的二次型，然后计算该二次型矩阵A的秩。

我的问题是：是否可以写出坐标变换方程组x1+x2=y1
                                x2-x3=y2
                                x3+x1=y3
然后计算从y到x的坐标变换的的矩阵B的秩？  从这道题来说，我验证了一下，两种方法都可以得到正确的结果。但是，这种方法是否具有一般性呢？ 如果具有一般性，那么大家的解题速度将大大提高，而不用再去展开平方项再合并同类项。

期待高手指点！！

gsj5555

这个就是配方，初中的知识，配方关键你要不可逆，不可逆就是一样的

agooogle

原帖由 gsj5555 于 2008-11-29 12:35 发表
这个就是配方，初中的知识，配方关键你要不可逆，不可逆就是一样的

配方法关键是要可逆吧？！
问题是，这个题目的配方恰恰是不可逆的。把原式平方项展开换成二次型的标准形式后计算可知秩为2，即所用坐标变换是不可逆的。

如果可逆的话，配方法的结果当然是跟原二次型秩一样的。可是如果像这种类型的题目，所用变换是不可逆的呢？是否可以只计算所用变换矩阵的秩呢？

wenshuiling

我也碰到这道题，还是老老实实展开求吧[em:37]

agooogle

原帖由 wenshuiling 于 2008-11-29 19:32 发表
我也碰到这道题，还是老老实实展开求吧[em:37]

能省则省啊，考场上时间宝贵的很！真的很想知道我的方法是不是有理论依据[em:37]

agooogle

原帖由 wenshuiling 于 2008-11-29 19:32 发表
我也碰到这道题，还是老老实实展开求吧[em:37]

能省则省啊，考场上时间宝贵的很！真的很想知道我的方法是不是有理论依据[em:37]

gsj5555

不好意思，是可逆，不知道为什么打成不可逆了，用可逆配方是一样的

agooogle

原帖由 gsj5555 于 2008-11-29 20:05 发表
不好意思，是可逆，不知道为什么打成不可逆了，用可逆配方是一样的

呵呵，我猜你也想说可逆的。
那么不可逆的情况呢？

agooogle

今天继续等待高手出现

lycsheva

我觉得不对，用配方或者正交变换以后得到的可以求原来二次型的秩，归根结底用得是相似矩阵有相似秩的思想，你这个要是不可逆，当然不能相似啊，哪来的相同的秩，不知道对不对，呵呵