法向量，切向量求法归纳。

polaris606

（因为以前我曾经为这个问题困扰过，所以今晚索性总结一下，贴出来给大家看看可能有所帮助吧。）



1 对曲面而言，求各变量在某一点的偏导数，即为这一点的法向量。

切向量我们假设以x为变量（参数），则切向量为（1,0,Zx)。以y为变量，则切向量为（0，1，Zy)。

验证以x为参数的切向量（1，0，Zx）：因为Zx = -Fx/Fz，而法向量为（Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz  = 0，所以两者正交，证毕。
其余同理。

2 而对于平面曲线而言，我们可以考虑其为，缺少的那一维向量的无限延伸，这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面，这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。（内外法向加一个正负进行区分）

而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑：把x看做变量，y为因变量，然后求y对x的偏导数，则切向量即为（1，Yx)。

3 对于空间曲线，只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。

切线求法1：可以将x理解为自变量，y和z为x的因变量（自变量可以随便去选），然后分别求因变量关于自变量的偏导数，然后得出一点的切线向量（1，Yx, Zx)。（三种形式）

切线求法2：求出两个曲面的法向量，然后做差乘（向量积），结果也是切线向量。

----关于空间曲线法线向量的求法我个人建议，如果你题目已经知道了切向量的情况下，个人建议可以利用Schimidt正交化一下，立马得出法向量。但是如果没有切向量而是直接去求法向量的话可以总结为以下步骤：

——按照步骤1归纳的方法求出两个曲面的切向量，然后进行差乘，即为空间曲线某一点的法向量。

含泪的笑可乐

谢谢

polaris606

HOHO~

lashidelaohu

hao hao ha o

polaris606

嘿嘿，单纯讨论法线，切线求法，没想到你把这个都补充上了：）

不会失败

这个不错 有时间多看看`

生命的骄傲

受教了，希望能看到你分析两类曲面积分，有点头晕，虽然大部分题目会做我感觉自己还是不能完全看透只是知道方法而已。

不再自弃

不错的东西，谢谢了