为什么对称阵一定有N 个线性无关的特征向量？

mingyangyi

？？？？？？

youxu

实对称阵与对角阵相似，所以他们的特征值相等，而对角阵的特征值是n。所以r(A)=n,所以A的列向量无关，即有n个无关的列向量。

baiyu1983

因为实对称矩阵必可对角化,而有N 个线性无关的特征向量是矩阵对角化的充要条件!

mingyangyi

谢谢楼上两位，
不过这和我的问题其实是一回事啊，问题也就等于问“为什么实对称矩阵必可对角化”？

wangrongxi

我觉得你的回复是不正确的
矩阵可以对角化的宠要条件不是具有N个线性武官的特征值
具体条件请查阅教材
请恢复正确的答案
不有袄误导别人

baiyu1983

原帖由 wangrongxi 于 2007-10-25 22:55 发表
我觉得你的回复是不正确的
矩阵可以对角化的宠要条件不是具有N个线性武官的特征值
具体条件请查阅教材
请恢复正确的答案
不有袄误导别人

正解,有N个线性无关的特征值是充分条件,而不是必要条件!

[ 本帖最后由 baiyu1983 于 2007-10-25 23:14 编辑 ]

yngaocn

谁说 "对称阵一定有N 个线性无关的特征向量"?

实对称阵A的r重特征值λ才一定有r个线性无关的特征向量

λ是对称阵A的r重根，则R(A-λE)=n-r，从而(A-λE)X=0的基础解系有n-R(A-λE)=n-(n-r)=r个线性无关的解向量。即对应于λ有r个线性无关的特征向量。

pilgrim111

楼上更正的对，应该是“实”对称矩阵才有n个线性无关的特征向量。必须是实数范围。

talenthunterjx

首先说下，没有线性无关的“特征值”这个概念吧。应该是特征向量。
其次，m*n矩阵A可对角化的充要条件不是有n个线性无关的特征向量吗？那是什么。。。真的不太清楚，不吝赐教啊！

郑小知

看了上面的帖子 甚至还有n个线形无关的特征值的论述.  我不得不说说我的观点。来源于课本。应该说每个矩阵都有n个特征值 因为特征方程都是n阶多项式。不能因为有的特征值有重数，而否认它的存在。不可能因为双胞胎一样，而忽略掉。
问题在于矩阵的几何重数等于代数重数。也就是每个特征值的重数与其基础解系的解向量的个数相等。实对称矩阵能够对角化的原因是其特征值的几何重数等于其代数重数，也就是每个特征值的重数与其对应的基础解系的解向量的个数相等。至于为什么相等，这个教材上也省略了。说是太高深。补充，特征值的几何重数小于代数重数。这个证明也好像比较高深。教材也省略。所以，如果每个特征值为1重的话，则其几何重数为一，也就是与其次特征值对应的基础解系的解向量的个数为一。所以，n个互不相等的特征值，则对应n个互不相关的特征向量。这是个可对角化的必要非充分条件。但有的矩阵有相同的特征值，比如说某个特征值代数重数为2，那么它所对应的几何重数或者为一，或者为二，（特征值的几何重数小于代数重数），也就是说2个特征值都只对应一个特征向量。那么n个特征值必然不能有n个特征相量线性无关。从而不能保证对角化。
而实对称矩阵恰好没有这种尴尬的局面产生。至于证明，建议考数学研究生或者自学。