两矩阵相似一定合同吗？

情谊无价

同意楼上的，对称阵相似一定合同

hsyingyong

相似矩阵的特征植相同,特征植正负个数相同,惯性指数相同,故合同

bywm614

回答怎么这么乱啊,出现了三个定义,合同,相似和等价,呵呵

kevin_chn

很简单，只有实对称才考虑相似=>合同

听雷西尔没错的

[ 本帖最后由 kevin_chn 于 2007-7-25 12:22 编辑 ]

随风公子

谢谢各位了，不过还是好乱的样子。。。
“实对称阵在正交替换下合同等价于相似”，这个结论正确吗？还有，实对称阵对角化其正交替换唯一吗。现在脑子混乱中，实在想不下去，所以请教各位牛人，再次感谢！

beaty2003

用比较级表示：等价<相似<合同，后者可推出前者，前者推不出后者。

shuairenisme

呵呵，等价变换保留的东西最少，只保秩。P*A*Q,其中P,Q只要是可逆阵就可以了。因为P,Q选取的条件比较宽松，任意的可逆阵。所以等价变换是一定可以转换为标准型的（包含一个E的那种矩阵）。
相似变换要求：P逆*A*P,这种变换不仅保秩，还保特征值。大家可以看到，这种变换的条件就苛刻多了。左边乘P,右边就一定要乘P逆，所以这么苛刻的变换最后的结果也是很有局限性的，有可能可以对角化，也可能不可以对角化。所以可以看到，有相同特征值的所有矩阵集合中，分为两大部类，一类是可以对角化的，一类是不可以对角化的（这个概念在真题中也考察过）。
最后是合同，合同也是一种苛刻的变换。对A,左乘一个P，右边就一定要乘一个P的转置。所以道理和相似一样。这两种变换之间本来在概念上是没有什么关系的。
最后说明一下，对于实对称矩阵A,一定可以找到一个正交阵P，使得A通过相似变换对角化，而这个正交阵P作为正交阵有一个特征：P逆=P转制。这样，这个相似对角化的过程也就是一个合同变换的过程。

shuairenisme

补充一下，合同变换保的是正负惯性指数，所以实对称阵在相似对角化（也是一个合同变换过程）之后，会进一步要求你合同变换为主对角线全为1或者-1或者0的那种形式。具体的方法同济四版教材上一个例题里面有