请大家一起就关于张宇 x-sinx~1/6x^3 (x趋于0)的著名结论的探讨

高昆轮

在讲课上张宇老师给我们从泰勒公式的角度让我们对这个 x-sinx~1/6x^3 (x趋于0)的等价有了深刻的记忆，他并指出了广义化的等价：即只要上面的四处x都换成一样的就可以的，比如一道考研题lim(sinx-sin(sinx))sinx/x^4  ,x趋于0（下标不会打就这样看吧）这道题他说上面分子可以立即效仿 x-sinx~1/6x^3 (x趋于0) 等价于1/6sinx^3，这样整个分子就等价于1/6sinx^4也即是1/6x^4那么答案显然就是1/6了。这个答案是对的这是最近一年的考研题，但是我想说的是 x-sinx~1/6x^3 (x趋于0)这个等价来源于麦克劳林形式的泰勒公式sinx=x-1/6x^3 +o(x^3)  ，根据两个无穷小的等价的定理即一个无穷小等价于另一个无穷小的充要条件是（在同一个趋向下）其中的一个无穷小必然可以写成另一个无穷小与一个比这个（前个）无穷小的 高阶无穷小的和的形式，我们自然会想到（sinx-sin(sinx))sinx等价于1/6sinx^3，必须理论可以写成sin(sinx)=sinx-1/6sinx^3+o(sinx^3)的形式（sinx趋于0），但是请注意比较sinx=x-1/6x^3 +o(x^3) 与sin(sinx)=sinx-1/6sinx^3+o(sinx^3）就会给人感觉sin(sinx)=sinx-1/6sinx^3+o(sinx^3）这是sin(sinx)的泰勒展开式，但是这绝对不是泰勒展开式，因为显然这等式右边根本都不是多项式的形式，根本不是他的泰勒展开式啊。这个问题怎么理解呢？

战地黄花

这是你对关于函数的公式理解有误。
理解关于函数的公式，应理解为“逐点成立”。（在“成立范围内”，任给一点，视为常数，公式成立。）
理解带“高阶无穷小尾项的泰勒公式”，应理解为，任给“绝对值充分小的一点”，（管它具体是X，还是sinX，还是别的什么），视为常数，公式成立。

yuseposui

表示赞成二楼，在函数的发展史中级数也是一种函数，理解函数主要看其定义域以及对应发则，相同则为一个函数，那么就将具备相同性质。人类研究时就是这样先研究简单的，然后看如何推广到更广的范围中去。