r^2=cos2θ 求此弧长怎样确定θ的范围呢

13不拼是2b

如题，在不知道图形的前提下，或者说能根据此方程画出来（我不会画）此为复习全书108页的一道题。。它的上一道题r=asin^3 θ/3 是这样确定的。首先周期是6π，然后在[0,6π]范围内找r>0的范围即[0,3π]。我感觉不太合理呢。。周期是6π，只能说明从下一个角度开始r值和起始点相同，但是能说明图形从6π开始图形与之前的重合么。。举个例子就是我问的这道题，它是双纽线，cos2θ的周期是π，但是我们不能在0~π取啊，极轴的下半轴仍有图形啊。。是不是我理解有误啊，本来以为求曲线弧长没啥太大问题，按照公式来就行了，做高数书的题图形都是给出来的，所以也没在意。。但是图形没给出来就不会了。
求解答

Attractor_Field

“从6π开始图形与之前的重合么”
毫无疑问肯定相同，(x,y)可以根据根据“过原点的射线”和“以原点为圆心的圆弧”的交点确定。 θ=6π和θ=0是同一条射线，而且r(6π)=r(0)，圆弧也是同一条。所以在θ=6π 和θ=0时，射线和圆弧的交点是相同的

Attractor_Field

至于r^2=cos2θ太容易了，一看就知道是θ∈[-π/4,π/4]  （或者说θ∈[0,π/4]∪[7π/4,2π]）

根据r=r(θ)求θ的范围和图象的周期，都有一个很简单的做法：先求出r的最小正周期T' (不一定存在)，然后再求出T' 和2π的最小公倍数T(也不一定存在)，那么函数图象的周期就是T，也肯定是闭合的，在区间[0,T)内讨论就足够了（就是r≥0，还有其它约束条件比如定义域之类的讨论）
反之，如果r的最小正周期T'不存在(r为常数，也就是圆，例外)，或者T'和2π的最小公倍数不存在，那么函数图象不可能闭合，图象也不可能有什么周期。一般来说这种情况下题目会直接给出θ的范围

13不拼是2b

Attractor_Field 发表于 2012-9-29 18:24
至于r^2=cos2θ太容易了，一看就知道是θ∈[-π/4,π/4]  （或者说θ∈[0,π/4]∪[7π/4,2π]）

根据r=r( ...

能不能就这道题说明一下呢 谢谢拉

Attractor_Field

13不拼是2b 发表于 2012-9-29 18:30
能不能就这道题说明一下呢 谢谢拉

r^2=cos2θ中，r的最小正周期是π，π和2π的最小公倍数2π，所以只需要在[0,2π]讨论。在[0,2π]令r^2≥0的范围就是[0,π/4]和[7/4π,2π]，就这么简单

13不拼是2b

Attractor_Field 发表于 2012-9-29 18:34
r^2=cos2θ中，r的最小正周期是π，π和2π的最小公倍数2π，所以只需要在[0,2π]讨论。在[0,2π]令r^2≥ ...

刚才看的匆忙没看仔细 不好意思，，这个有没有理论上的说明啊，另外 我再请教一个问题就是 利用x=cosθ和y=sinθ化为参数方程的时候θ的取值范围是根据什么确定的 是图形么

Attractor_Field

13不拼是2b 发表于 2012-9-29 18:42
刚才看的匆忙没看仔细 不好意思，，这个有没有理论上的说明啊，另外 我再请教一个问题就是 利用x=cosθ和 ...

自己总结分析就足够了，毫无难度啊。我已经说过了射线和圆弧的交点能唯一确定图象的点，射线的周期就是2π，如果圆弧也就是r也具有周期T'，那么函数图象可能就有周期（闭合），到底是不是有周期，就要看存不存在一个T，令T同时是射线和圆弧的周期，这个T就是2π和T'的最小公倍数，但这个最小公倍数是未必存在的，所以函数图象也未必存在周期。

13不拼是2b

Attractor_Field 发表于 2012-9-29 18:48
自己总结分析就足够了，毫无难度啊。我已经说过了射线和圆弧的交点能唯一确定图象的点，射线的周期就是2 ...

感觉 你好厉害，，是已经考上研究生了么，，对于考研数学有没有什么经验啊。。。。。。。。。十万分感谢

Attractor_Field

13不拼是2b 发表于 2012-9-29 19:06
感觉 你好厉害，，是已经考上研究生了么，，对于考研数学有没有什么经验啊。。。。。。。。。十万分感谢 ...

汗，我也是13年考研的。这种程度也算厉害？比我厉害几十倍多了去了

13不拼是2b

Attractor_Field 发表于 2012-9-29 19:12
汗，我也是13年考研的。这种程度也算厉害？比我厉害几十倍多了去了

额 备受打击啊。。