此种定积分的求法探讨

车驹

andsenhan 发表于 2012-8-17 21:12
结果是2派，过程我用公式编辑器写了下：

谢谢你，你的解法很规范，只是有一点，就是一点你提前变换了积分限，没什么影响。
但是有一个疑问，就是遇到被积函数是在积分区间是连续的，但是求出来的原函数却有间断点这种情况，和被积函数原本就有间断的情况，这些求定积分要注意些什么，哪里有些什么要注意的？
我看了下面有个朋友回复的说在积分区间不影响定积分的结果，这个怎么说？

andsenhan

车驹 发表于 2012-8-18 09:28
谢谢你，你的解法很规范，只是有一点，就是一点你提前变换了积分限，没什么影响。
但是有一个疑问，就是 ...

我个人觉得，应当考虑被积分函数的定义域，在连续区间内进行积分肯定是没有问题的。

车驹

andsenhan 发表于 2012-8-18 13:21
我个人觉得，应当考虑被积分函数的定义域，在连续区间内进行积分肯定是没有问题的。
...

好的，谢谢你。

苏大小肥牛

车驹 发表于 2012-8-18 09:28
谢谢你，你的解法很规范，只是有一点，就是一点你提前变换了积分限，没什么影响。
但是有一个疑问，就是 ...

具体的严格证明不赘述了，因为涉及到定积分的达布，定积分的ε-δ语言和还有康托尔定理（有兴趣可以去看下），超出了考研范围。但是其实思路是很明确的，定积分的定义就是划分区域求和，我们可以把整个积分区域划分为一个一个的小区间，第一种不含间断点，第二种足够小（几乎就是间断点本身）并且包含间断点（引入了ε-δ)，然后把对这些区域求和，康托尔定理其实说的是一个区间子区间的上下界之差不可能小于这个区间本身的上下界之差，因此我们可以对第二种区间的和进行放缩，最后得到的和可以写成I=S+εA的形式，前面的S是第一种区间，即连续区间的和，后面的εA是第二类区间，即包含间断点的区间和，其中A是常数，ε是无穷小，无穷小乘以常数还是无穷小，因此不影响整个极限的和，从而得证：有限个间断点不影响定积分的大小

车驹

苏大小肥牛 发表于 2012-8-18 13:44
具体的严格证明不赘述了，因为涉及到定积分的达布，定积分的ε-δ语言和还有康托尔定理（有兴趣可以去看 ...

很谢谢你，你将的我明白了，谢谢。