超级坑人的思维，求解惑！！大榭！！

dost · 发表于 2012-8-10 22:59

在看全书的时候，想到了2个问题。第一个是关于等价无穷小的替代问题，众所周知等价无穷小的替代只能在乘除运算中，加减运算不能。那我可以根据极限运算的加减法则将加减运算的无穷小拆分成几个无穷小之和，再分别等价替换，最后将替换的结果带入原式。但到最后发现这不就违背了加减运算不能直接用等价无穷小替代的原则了么。上图如下

这是第一个思维，还请大家帮忙指点指点。

第二个是求极限时关于等式的化简，上图

这是全书上的，前一个式子是0/0型的，后面同除了x^2后直接将sinX/x=1带入原式进行化简，
再看看我做了一题，上图

确实有问题，但我不知道违反了什么法则，请大家指出来。不尽感谢。

ever_17 · 发表于 2012-8-10 23:11

一般来说分母(子)展开到o(1)，那么分子(母)就展开到o(1)。如果分母(子)展开到o(n^2)，分子(母)就展开到o(n^2)。你就错在分母展开到o(n^2)，分子却展开到o(1)

深海lw · 发表于 2012-8-10 23:32

第二个问题我也不是太懂，帮顶一下

峄阳孤桐 · 发表于 2012-8-10 23:39

第一个，极限四则运算法则是有前提的

wudilonghao · 发表于 2012-8-10 23:43

你这个带入是不同步的，全书中sin x/x=1和cos x=0的带入是同步的，但是你做的时候只把sin x/x=1带入了，sin x=0没带入，你这道题在除完x^2之后应该继续化简，然后同时再带入……做题时把极限符合写上，lim表示同时取极限，就是同时取极限，归根结底还是同步带入

峄阳孤桐 · 发表于 2012-8-10 23:48

第二个，分子不能直接化成你那样的，原因很麻烦，文都汤家凤讲过，是因为分子分母精确度不一样。你可以把分子那个1减sinx的平方化成cosx的平方，然后和分子剩余部分通分，剩下的过程和全书那个立体思路就一样了

峄阳孤桐 · 发表于 2012-8-10 23:49

这两题，我是这么认为的

sevensevenasde · 发表于 2012-8-10 23:57

第二个让我觉得应该是带入的不对。
因为，直接用的那个极限(lim sinx/x=1)其实不是十分精确的，应该还有很多高阶无穷小项。
全书上那个题分子分母都是加法运算了，高阶无穷小项影响可以忽略不计，但你做的那个题分子是减法，不能直接忽略高阶无穷小而代入公式

sevensevenasde · 发表于 2012-8-11 00:02

你用麦克劳伦公式做第二题就知道了

1438378889 · 发表于 2012-8-11 01:04

你这样做是不对的，求极限可以用加减法，不过有前提条件，一般最好不要用，你做的第二问题时，你在加减法的时候用了无穷小替换，那是不可以的，因为另一因式的极限是不存在的。有什么你问继续追问可！

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