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5多元微分学 这一章大多还行。只有几个地方不太好。隐函数定理是个很重要的结果，当然不能要求我们去证明了，但对其的用法提倡的不好，是有个公式的，但并不需要用它的那个形式，只要我们知道是确定的谁对谁的函数，直接去操作就可以了，包括后面求曲线的切线和曲面的法线也是这样，靠背公式是没有出路的。极值的那个充分那个形式给的不好，那不就是个最简单的二次型的正定性问题吗，指出这一点，连证明都不需要了。关于曲线曲面这部分内容，完全可以放在向量与几何那一章里。 6 向量与解析几何 这本来是非常重要的内容，可惜我们看了教材觉的没学到啥，就是因为教材的选材不对。学了些什么投影，二次曲面的形状和叫法，这些内容豪无用处。其实可以把曲线的切线及曲面的法线也放到这里来，再加上平面区域与空间区域。学些什么呢？学会各种几何体的表示（有界的时候要找到界，这个表示当然是要好的形式了，顺便把各种曲线坐标系也学会了），曲线是一维的，用以个变量来表示，主要是求切线，切向量就是对这个变量的导数，将来学曲线积分的时候这个向量还有用处，求大小就是求对这个向量的模的积分；曲面是二维的，用两个变量来表示（有界时找出那个界，是个区域），要求其法线，法向量的求法，就是表示里对两个变量求偏导数，一共有六个，这六个数弄出两个向量，两个向量的外积就是法向量，在曲面积分里会用这个向量，求大小就是求面积，对这个向量的模求积分（在界的区域上求二重积分）；空间区域是三维的，用三个变量表示，形式主要是要那些变量的范围（不等式），在三重积分的时候会用。其中要充分利用向量的运算，如果不用就等于没学。做一些以后在积分里经常用例子 7 多元积分 二重积分的处理基本上合理。但三重积分和曲线曲面积分，处理的一团糟。对于三重积分，那个进行分割求和取极限的定义可以不用了，其物理含义就可以做为定义，就是已知体密度求质量，而且将来的物理应用里求质心和转动惯量的来源就是因为质量问题。计算的办法非常朴实，就是认清楚这个积分，在哪里积，对谁积，先把空间区域处理好，所谓处理不是画图，画了没用，再说一般也画不出来或者所谓画出来也没用，我们的希望是把表示空间区域的三个变量的关系（不等式）找出来，分离开，按照所给的形式找分离的办法，也不知道叫个什么坐标系，反正知道这样做可以达到我们的目的，最后只需要算三个不困难的定积分。这就是换元积分法，但我们的换的目的主要是针对区域的，因为一般函数不会很复杂，当然偶尔会稍微顾忌一下函数。那些所谓的对称性，正常来说不需要，因为这毕竟是少数的特殊情况，而且这个对称性要求太高，对区域及函数都有要求，不像一元定积分那样好用。再说如果真有简单性，那么在你正常算的时候是会发现的。我们的观点是：不画图（画不了，画了没用），不特殊（对称）。大多数教材和辅导书里对三重积分的解答都把最重要的内容丢了，那就是写出处理好的区域这一步，二是说了些无关紧要的话。重积分的应用处理的更差，求体积就是在此区域上对1做三重积分，所谓用定积分或二重积分做是因为你对那个三重积分已经求了两次或以次积分后的结果；求曲面的面积直接放在曲面积分那更好，就是对1在这个曲面上做曲面积分，具体的就是对你处理好的这个曲面（用两个变量表示以及这两个变量形成的新区域）的法向量的大小在这个新区域上做二重积分，第一步是找曲面，第二步是处理曲面，第三步是求法向量的大小，第四步是求一个极其简单的二重积分。那两个物理应用应该先解释其物理含义，质心（和重心稍有差别，地球上基本是一样的（因为涉及重力加速度））就是一个位置（向量，三个分量）就是这样一个位置，此点处的力矩与其余各点处的力矩相等，因为力矩是质量与位置向量的数乘，二非均匀分布的物体涉及求质量，需要用积分，公式已经有了，就记那个含义就可以了；转动惯量，四个字都有含义，转就是旋转，就是有个轴，有个角速度（向量，方向定为沿转动轴的方向），动就是要求动能，正常（已知速度）求是用这个速度和质量来求的，质量就是具有惯性的量，现在是用角速度，把角速度对等速度，对比一下两种算法，原来质量的位置就是我们要求的转动惯量，因为速度是角速度与位置的外积，算这个外积的大小的时候有个正弦平方，乘以位置大小的平方就是那个点到转动轴的距离，质量乘以距离的平方就是我们要的，叫个量是因为我们想知道更多，就要算对多个轴的转动惯量（在三维情形，算六个就可以了），所以需要的是个张量（矩阵），要积分是因为质量引起的。 对于曲线与曲面积分，其实不需要分第一类与第二类，应该以第二类为主，定义当然就是其物理意义。曲线积分是求力场的做功的，当然是向量函数，当然要指出方向（方向是给的，体现在切向量微元上），力与切向量微元的内积就是做功微元，是在曲线上积累的。计算过程已经在定义里了，第一步，找到且处理好曲线（写出表达式（一个变量）,找到界），第二步求切向量并选择方向，第三步带入积分里算定积分，另外一个模型就是电磁学里的Ampere定律，磁感应强度在环线上的积分等于次磁场产生的电流强度，这个模型在解释Stokes公式时非常有用。曲面积分是算通量的，这个通量包括质量，磁通量，电通量，用质量的就可以，已知条件是：速度，时间，曲面，流向，最后单位时间（1秒，其他的单位都取国际单位）内流过曲面某侧（本来是找法线（法向量）的，某侧说明取了方向了）的流量（质量）是速度向量与法向量内积在曲面上的积分（数值上是，量纲差个秒）。如何计算呢，当然不画图了，和计算曲线积分非常类似：第一步找到且处理好曲面（写出恰当的表达式（两个变量），找到界，既然恰当的，那这个界的形式一点比较简单），第二步求法向量并选择方向（根据法向量的分量的符号），第三部带入后计算个较简单的二重积分。所谓第一类，就是函数是数量函数，切向量与法向量只要大小，最后也是算定积分与二重积分。 关于那三个微积分基本定理（Green,Gauss,Stokes公式），内容本来非常重要，但我们从未好好用过，用来求积分真是大材小用了。先说公式本身，每个公式都有些条件，其实当你把公式写出，那些条件就看到了：函数（向量函数，两个或三个分量）要有连续偏导数，原因是你右边的被积函数里有偏导数的形式，所以要存在，连续是需要右边这个二重积分或三重积分或曲面积分可积；曲线或曲面闭合是由于右边出现了它们所围成的平面区域或空间区域或曲面，当然要闭合；需要定向问题是由于左边是第二型的曲线或曲面积分，是有方向问题的，而右边的积分没用方向性，你又把形式定好了，当然要确定合理的定向规则。这三个公式说明了什么呢?Green公式是Stokes公式的特殊形式（三维退化到二维），其实它和Gauss公式也很像，这一点在调和函数（二维与三维的比较）的性质方面可以得到验证（有考研水平的习题的）。Gauss公式就是求质量的两个方法，第二型曲面积分的定义模型说算那个曲面积分就求出了质量，已知体密度时我们是用三重积分求质量的，那个曲面就是这个区域的边界，两个结果干的一件事，当然相等，所以这时候的散度就是体密度。Stokes公式就是电磁学里的Ampere定律与电流强度的另一定义这两种算法的等价，电流强度如何定义的呢？可以是电量对时间的导数，当然也可以是电流面密度向量在此曲面上的积累（其实电流强度是有方向的，可以作为向量）。所以所谓旋度其实就是个面密度向量。这三个公式可不可以用来算积分呢？如果用，事实上相当于分部积分法(因为涉及到原函数)。正确的观点是：Green公式可以用，也就是一般不用也可以求曲线积分，只要函数和曲线具体给出来了，要知道可以用它化简平面上的曲线积分的原因是，或许曲线复杂但所围成的区域简单，同时可以通过求偏导数和做减法使被积函数变简单，那么直接做用分部积分也可以达到目的；Gauss公式偶尔用，正常来说我们情愿做两次积分也不愿意做三次，而且还不知道函数或区域的复杂情况，或者还需要处理一下才可以用，只要函数与曲面不是抽象的（未知的）就可以直接求，一点都不复杂；Stokes公式几乎不用，因为曲面积分要比曲线积分困难多了。真正的用途在哪呢？讨论向量场的工具，前面讨论的调和函数的就可以派上用场。我们经常用的就是特殊Stokes公式（闭积分为零）的那些等价条件（旋度为零，闭积分为零，路径无关，恰当微分，向量场是个梯度）还有类似的特殊Gauss公式的等价条件。散度与旋度的物理意义是涉及空间（密度是散度）与时间（有势力场机械能守恒：机械能对时间的导数为零）关系的深刻含义的。在用Green公式与Gauss公式计算积分时有两个经典题目，就是结论为2派和4派的那两个，在解释那个2派的做的过程的时候都没说好，应该除了在里面取个恰当的曲线，还应该再加上两条直线，4派那个其实是真正的Gauss公式，叫Gauss法则，结论是内部无源（散度为零）且有奇点时，通过任一包含此奇点的曲面通量都相等，所以可以找个特殊的恰当的曲面来算。 8 级数与常微分方程 级数这部分选材基本还可以，只是有点多了，其实数项级数的大多内容都可以放到极限那一部分里，因为判断收敛性就是极限的事情，除了交错级数的那个判定，其余的基本也就一个判定法，就是比较法（优级数法），就是要找些不等式。当然前提是你先感觉出结论来。不需要太多关注。函数项级数本来内容很多，但都没学到，删了。Fourier级数有点可惜，内容太重要了，不过我们没学会原理及应用，这是来源于求解微分方程的，而且可以推广到更一般的展开去。 常微分方程是个合适的微积分应用论题，其实可以学到更多，可惜我们没学过多少。仅仅学了最简单的一阶可积型方程和可降阶的二阶方程，许多教材还花了不少时间来讨论这点内容。对于一阶可解型方程，只有一个方法，那就是找恰当因子，然后找那个不变量（微分的原函数）；二阶的情况，就一个办法，那就是降阶，二阶线性方程就是可降阶的（非常系数的需要先找到一个特解），降阶后变成由两个一阶线性方程组成的方程组，可以直接求出其通解（也是全部解），一般给的办法太繁琐了，也不普遍。那个常系数二阶方程猜特解形式的方法是外国人发明的具有中国特色的方法，因为中国人不喜欢抽象，所以当个宝的用，有的所谓专家还介绍了个算子法，其实就是Largrang变换，学信息类的人都知道，不是什么高深的东西。有个重要的应用，当我们自以为已经大学毕业已经学过高等数学的时候，其实我们连250年前的Newton都不如，不知道怎样用Kepler三定律得到Newton万有引力定律，其实这是个很好的训练，用到本科高等数学水平的许多知识点。 | 
发表于 2012-3-23 16:41
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