关于某点导数存在以及该点领域可导性

点点要努力

战地黄花 发表于 2011-9-25 08:42
为什么会有这样的问题产生
产生这样的问题，显示了非数学专业学生不懂得定义的权威。
定义是游戏规则，定义 ...

请教老师，“f(x)在x=0处三阶可导”和“f(x)在x=0邻域二阶可导”，这两个条件有什么不同呢？第一个条件下，能推出x=0邻域二阶可导吗，也就是在x趋近于0时，limf'(x)/x^2能使用一次洛必达法则吗？ 第二个条件下，能推出一阶导函数在x=0点连续吗？x=0邻域可导包括x=0点的可导性吗？麻烦老师能不能讲讲这两个条件的区别和各自的隐含信息，谢谢老师，鞠躬致敬！

战地黄花

点点要努力 发表于 2011-9-29 12:50
请教老师，“f(x)在x=0处三阶可导”和“f(x)在x=0邻域二阶可导”，这两个条件有什么不同呢？第一个条件下 ...

(1)，熟记定义，逐阶推理：“f(x)在x=0处三阶可导“—— f(x)二阶导数在x=0处连续  ——  隐含二阶导数在0点某邻域内有定义 —— 一阶导数在此邻域内连续
（2）结论，“f(x)在x=0处三阶可导”强于“f(x)在x=0邻域二阶可导”，
如果要以原点为中心点用泰勒公式，有前一条件写出，三次多项式+皮阿洛尾项，
只有后一条件，则只能写，二次多项式+拉格朗日尾项
（3）若参与x趋于0时求极限，前者情形下可用两次洛法则，后者只能用一次。

点点要努力

战地黄花 发表于 2011-9-30 07:53
(1)，熟记定义，逐阶推理：“f(x)在x=0处三阶可导“—— f(x)二阶导数在x=0处连续  ——  隐含二阶导数在 ...

非常感激老师详细解答，明白了，谢谢，一直看您每一份讲义受益匪浅，祝老师一切顺利！