关于某点导数存在以及该点领域可导性

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我想问一下这样的一句话是否正确：若一元函数在某一点x可导，则必然存在一个充分小的a，使得区间(x-a,x+a)内任意一点都可导。
求高手指导，如果不对希望能举出反例

我要去苏大

不是吧，在某点可导说明函数在某个邻域有定义吧，你可以根据导数的正负号，来判断某个邻域内原函数在该点附近的值与在该点取值的大小，详见二李数二56页选择题四

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我要去苏大 发表于 2011-8-14 19:56
不是吧，在某点可导说明函数在某个邻域有定义吧，你可以根据导数的正负号，来判断某个邻域内原函数在该点附 ...

但如果这句话有不对，能说出为什么不对吗

米兰小猫

感觉上不太对。
但我举不出反例，也许不是初等函数了。
坐等大神。

红色八月

我觉得是对的 因为不是因为左右导数相等才叫可导吗

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看来这个问题还是要继续等大神了，如果有人确定这个问题的答案是错的话，而举不出反例，可以大概说一下那个情况应该是怎样的。

YH_AI

错是肯定的，反例估计已经超出考研的范围。   可导点只有邻域的保号性，没有邻域的单调性和邻域的可导性。

YH_AI

暂时没找出来，不过估计和xsin1*  有关，这种东西一般都涉及到无穷振荡点之类的，其实没必要太纠结，考研肯定考不了这么深，660上那道考察邻域单调性的题目我都觉得超纲了。

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YH_AI 发表于 2011-8-14 21:38
暂时没找出来，不过估计和xsin1/x  有关，这种东西一般都涉及到无穷振荡点之类的，其实没必要太纠结，考研 ...

呵呵，x*sin(1/x)我是看过的了，还要加上x=0时，y=0，但这个函数在0处是没有导数的，左右导均不存在，而你想说的应该是x^2 sin(1/x)，但这个函数只不过说明，在这个邻域上处处有导数，但在0这个点上导数不连续而已

aiai_andy

以前说过了，邻域当然不一定可导，注意可导和连续都是逐点定义的。
设狄利克雷函数F（x）当x为有理数时，F（x）为1，x为无理数时函数为0。现在构造带有函数f（x）=x²F（x）这个函数在0这一点是可导的，但是在0的任意邻域却不可导。
再来一个函数：f（x）=x²|cos兀/x|   x≠0时；f（x）=0，x=0时。这个函数也是在0这一点可导邻域却不可导。
呵呵我前几天上传的资料估计都没人看的，那么有用的东西。