求教，关于一点可导与领域可导的问题以复习全书P68页为例

ycscau2008 · 发表于 2011-7-28 22:32

本帖最后由 ycscau2008 于 2011-7-29 00:01 编辑

全书P68也。列3.14
f(x)在x=0三阶可导，这个题干能推出什么信息？？？

f(x)在x=0三阶可导→f(x)二阶导函数在x=0连续→f(x)一阶导函数在x=0“领域可导”，我这样的推理对吗？？

还有想问“一点可导”与“领域可导”有什么区别与联系？？觉得这两个概念头脑比较混乱？？

书上评注中：“因题目中未假定f(x)=0领域三阶可导及f(x)三阶导函数在x=0连续。。。。。”这句话中，觉得后面的“及f(x)三阶导函数在x=0连续”不是可以去掉吗？？可导不是必然连续吗？？前面都说三阶领域可导了，后面那句不是多余了吗？？？

刚复习头脑概念比较模糊，望指教！

leondero · 发表于 2011-7-28 22:42

没有三阶临域可导的条件啊，只有三阶点可导，没说其它点状况，到是有二阶导连续的条件了，说明二阶临域可导，同理一阶和零阶。求极限时这情况如果冒然用洛必达是要扣分的

leondero · 发表于 2011-7-28 22:50

可导说的是原函数连续吧，不能套在导数上…低阶与高阶的关系。所以你这三阶存在不能更进一步得出三阶连续吧

ycscau2008 · 发表于 2011-7-28 22:50

回复 leondero 的帖子

你好，你说这句“到是有二阶导连续的条件了，说明二阶临域可导”不怎么理解??为什么？

二阶导连续这个我明白，为什么二阶领域可导呢？？不是一阶领域得到吗？？
能说详细点吗？？？

aiai_andy · 发表于 2011-7-28 22:57

本帖最后由 aiai_andy 于 2011-7-29 00:23 编辑

1.函数在x=0处三阶可导能推出二阶导数及一阶导数在这一点可导，也能推出函数在某邻域二阶可导，这些都是有导数定义式决定的。不能推出函数在某邻域三阶可导。
2.一点可导，和邻域可导，这区别很大，一点可导没有代表性，一点可导不能推出某邻域可导。
3邻域可导和一点可导的区别，邻域可导不能推出一点可导，评注中给出的加强条件是为了能够使用罗比达求极限（要求函数在某邻域可导）。

leondero · 发表于 2011-7-28 23:00

本帖最后由 leondero 于 2011-7-28 23:05 编辑

还是楼上说的清晰明白，受教了

ycscau2008 · 发表于 2011-7-28 23:15

回复 aiai_andy 的帖子

谢谢解答，不过还是有点疑问:
1,为什么也能推出二阶导数某领域可导？？感觉好像根据导数定义也只能推出二阶导数连续？
2，理解
3，邻域可导不能推出一点可导？这个不明白。评注中给出的加强条件个人感觉不是可以删去“及f(x)三阶导函数在x=0连续”这句吗？？前面都说了“假定f(x)=0领域三阶可导”这不就蕴含三阶导函数在x=0连续了吗？？

leondero · 发表于 2011-7-28 23:36

楼主，如果这样表述：函数在某点有三阶导，则可推出此函数在这点的临域内二阶导和一阶导存在。应该说的是这个意思吧，如果把二阶做为一个新函数，我和你一样得不出二阶导在临域上还可以再有导数这个结论，如果描述的是零阶那个函数，则可以说它在临域上二阶可导。
某点有导只能证明原函数此点连续，和导出的导函数连续性无关的。

forverd · 发表于 2011-7-28 23:39

回复 ycscau2008 的帖子

"假定f(x)=0领域三阶可导"不能证明三阶导函数连续，只能证明二阶导函数连续，同理二阶能证明一阶的

aiai_andy · 发表于 2011-7-29 00:34

本帖最后由 aiai_andy 于 2011-7-29 00:36 编辑

1.刚才打的字有歧义，现在改了，我的意思是能推出函数在某邻域二阶可导，以及一阶导函数连续。
2.注意可导和连续一样，都是逐点进行定义的，所以邻域可导和一点可导区别很大。另外，题目中强调要给出加强条件某邻域三阶可导，这是为了能够使用罗比达，并且要求三阶导函数在此连续，这是为了使得那个极限的值能求出，那最后一步正是连续的定义式。

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