带佩亚诺余型的泰勒公式成立的有界条件求解答

jackchengjackc

同济第六版P142，佩亚诺余型成立的条件是F(X)的n+1阶导存在并有界，则可推出lim(x->x0)  Rn(x)/(x-x0)^n=0。问：是否F(x)n+1阶导没有界，lim(x->x0)  Rn(x)/(x-x0)^n=lim  (x->x0)Rn(x)*(x-x0)，从而变成未定型（难以求解）？还有P142页的书下小字说其实只要1.F（x）满足n阶导
                                                      2.F（x）的n阶导数（就是F（x）的n阶导作为一个函数）在（a,b）内连续就可推得皮亚诺余型成立。
这又是为什么？是F（x）的n阶导成立，并且F（x）n阶导数在（a,b）内连续推得佩亚诺余型成立，还是另有解释使得佩亚诺余型成立？

jackchengjackc

最后是这样的问题：
这又是为什么？是F（x）的n阶导成立，并且F（x）n阶导数在（a,b）内连续推得F(x)的n+1阶导数有界，使得佩亚诺余型成立；还是另有解释使得佩亚诺余型成立？

Mengxuer

1、书上是通过拉格朗日型余项推出佩亚诺余项，而拉格朗日型余项是用柯西中值定理推出来的，所以这时候佩亚诺余项存在的条件是“在包含x0的一个开区间内，函数具有一阶直到n+1阶导函数，且n+1阶导函数有界”，这个条件强。
2、条件弱化一下的话，那就是书上脚注里面提到的，“在包含x0的一个开区间内，函数具有一阶直到n阶导函数，且n阶导函数在x0处连续”可推出佩亚诺余项，可用洛必达法则。
如n=2时，余项R2(x)=f(x)-f(x0)-f'(x0)(x-x0)-f''(x0)/2×(x-x0)^2，证明lim(x→x0) R2(x)/(x-x0)^2=0。使用二次洛必达法则后得lim(x→x0) R2(x)/(x-x0)^2=lim(x→x0) [f''(x)-f''(x0)]/2，根据f''(x)在x0处连续，极限是0。所以余项R2(x)=〇((x-x0)^2)
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一家之言，仅供参考

jackchengjackc

n=2;你用落必达法则，那落必达法则的条件第三条是要求分子，分母求导之比的极限存在，就要求假设有n=3,n=4 时f（x）求导成立，不对额；而且两次洛必达R(X)还多出来一项f''''(x)。