-----------------求一反例：两矩阵相似，但不合同------------------

amaogg · 发表于 2010-11-2 09:15

A,B均为实对称矩阵情况下
A相似于B→A合同于B
这是因为A B具有相同的特征值
所以xTAx于xTBx有相同的正负惯性指数
所以A与B合同
合同就不一定相似了
正负惯性指数只是指标准形中大于(小于)零的系数的个数
若他们不相等
那就不满足相似的必要条件
也就不相似了

A B不是实对称矩阵
这两个好像就没神马互推的关系了。。

maoda_1986 · 发表于 2010-11-2 10:50

原帖由 蔡茂包子 于 2010-11-2 08:31 发表
你错了，孩子，一个矩阵不是对称矩阵也能合同于另一矩阵，只要满足合同的定义

我对你的语言措辞表示遗憾~呵呵。对于这个合同矩阵是否必须满足对这一条件是有争议的。但是考研的试题命制中默认是必须要满足的。不要跟我讲所谓的正统的数学中合同矩阵的定义，那个我也知道。希望这位同学以后别那么说话，你着急强调真理的愿望值得赞扬

fsf · 发表于 2010-11-2 11:49

怎么都在胡说八道啊！！！！

Ethan_GO · 发表于 2010-11-2 12:30

如图。A与B相似，却不合同，因为A与B不是实对称矩阵。书上合同定义明确要求两个合同的矩阵必须是是对称矩阵。
我只知道考研书上是这么写的，其他数学领域要不要求对称我不关注。

fuyongzhisheng · 发表于 2010-11-2 12:45

[em:18] 是不是就你了不起？就你牛了是吧。。。真是受不了，呼唤人品

蔡茂包子 · 发表于 2010-11-2 14:24

我错了，对不起你，大家考研都加油

359051 · 发表于 2010-11-2 15:14

原帖由 sybex 于 2010-11-2 00:04 发表
相似一定合同楼主赶紧把个人资料保管好别让别人知道了

你也赶紧去看书
别给别人知道了

[ 本帖最后由 359051 于 2010-11-2 15:55 编辑 ]

359051 · 发表于 2010-11-2 16:07

首先
根据基本定义
我们先明确说相似就是A=C-1BC
合同就是A=CTBC
（别砸我，这话等会有用的

）

我们假设A∽B
而且为了简便起见
我们把B假设为对角矩阵
这样A的所有特征值就在B的正对角线了

如果此时特征值都不相等
则有n个线性无关的特征向量
那么通过SCH正交化
我们可以找到一个正交矩阵C（即CT=C-1）
使A合同于B

但是如果有m个特征值λ是相等的
情况要变了
这时如果λ的特征多项式无法推出m个线性无关的特征向量
则不满足SCH正交化的条件
即无法推导出合同

但是这里有个特例
就是实对称矩阵
因为实对称矩阵必可相似对角化
（无论有多少重特征根都可以一定可以对角化）
所以一定能够找到一个C
使得A=C-1BC=CTBC
从而达到合同的目的

以上为个人见解
欢迎拍砖

[ 本帖最后由 359051 于 2010-11-2 16:08 编辑 ]

wobuyaoni · 发表于 2010-11-2 17:42

kando163 · 发表于 2010-11-15 14:49

18楼对头，
相似特征值相同==>正负惯性指数相同==>合同

貌似这个过程很对的样子，实际忘了正负惯性指数相同要在可逆变换条件下

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