关于一些是实对称矩阵的疑问

yiyezhiqiu88 · 发表于 2010-9-18 02:10

一，先列举几个结论，帮忙判断一下正确与否
1.两个实对称矩阵合同则必定合同于同一个对角阵
2.任一实对称矩阵与惟一对角阵合同
.3.如果实矩阵A合同于单位矩阵E, 不仅可以断定A一定是实对称矩阵，而且进一步得到结论：A一定是正定矩阵。
二，几个问题。
1.实对称矩阵相似对角化唯一吗?
2.实对称矩阵必合同于一个对角阵，对角阵唯一吗？

scl1989 · 发表于 2010-9-18 06:25

我觉得唯一对的就是3了，其实和A合同的矩阵很多，把A化为标准型，也会很多标准型。这样就不可能合同于唯一的对角阵了，你可能受合同方法中那个正交变幻求特征值影响，觉得特征值唯一对角阵就唯一，其实那只是其中一种，即便相似对角阵也不止一个，是因为那些特征值的排列组合有很多种，受位置影响，后来想想1好像则对哦

[ 本帖最后由 scl1989 于 2010-9-18 07:40 编辑 ]

junf · 发表于 2010-9-18 07:19

我觉得都对

一个虫 · 发表于 2010-9-18 08:17

感觉二楼说的对。配方法和正交变换法化出来的标准型是不同的，课本有原话。

小慧。。 · 发表于 2010-9-18 10:42

1对，对角阵不唯一，正定那块我也有点乱

一个虫 · 发表于 2010-9-18 11:04

恩，1貌似对了。可以合同与同一对角镇，但该对角镇不唯一

530646973 · 发表于 2010-9-18 11:43

1对
3也对因为正负惯性指数都是n=p 合同而且正定

[ 本帖最后由 * 于 2010-9-18 11:57 编辑 ]

lightout · 发表于 2010-9-18 14:12

1,3对，2错
1是因为两个实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正负惯性指数，也可以说是规范型是一样的，且唯一的。故这两个实对称矩阵肯定合同于一个对角矩阵，也就是他们的规范型矩阵
2错是因为标准型不唯一，所以这个对角矩阵不唯一。最显然的就是，分配法和正交变换得到的标准型一般都不一样，但都是对角矩阵
3和1一样，因为正负惯性指数一样的道理，不多解释了

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