特征多项式相同，就一定能保证两个矩阵特征值相同么？

lightout · 发表于 2010-9-15 15:36

对于任取λ，都有|λE-A|=|λE-B|是否能够证明
1，A和B相似
2，A和B拥有相同的特征值

我觉得从定义出发，A和B的特征值应该是能够使得|λE-A|=|λE-B|=0的λ的解，当然如果任取λ，|λE-A|=|λE-B|都成立，代表他们的特征多项式相同，但是是否就能够证明上述呢
特征多项式会有那种算出来恒大于0的情况么，这种情况下A和B还有特征值么？

sadone · 发表于 2010-9-15 15:42

方程相同，你说解同不同。

HNY2006 · 发表于 2010-9-15 15:48

行列式是什么?其实行列式就是一种特定的算式，它的最终结果可以是一个数或者是关于某个量的n次多项式。这里便是关于λ的一个n次多项式。而两个多项式相等的充要条件是它们的次数要相同，且同次数的项所对应的数字系数也要完全相同。

所以|λE-A|=|λE-B|，就意味着它们是同一个多项式，那么令其中之一比如|λE-A|=0，则特征值λ当然就一定相同。

sadone · 发表于 2010-9-15 15:50

不能证明A~B。
设A可相似对角化，B不能对角化，则A不相似于B

lightout · 发表于 2010-9-15 16:08

但是我们讨论的是有特征值的矩阵
如下两个矩阵
|3 5| |2 -1|
|-1 1| 和 |4 2|
他们的特征多项式相同，都是λ^2 - 4λ +8，特征多项式恒大于0，λ无解或无实数解
这种情况下，还能讨论他们的特征值么？
或者特征值运行复数域的情况？

lightout · 发表于 2010-9-15 16:15

不能相似的原因是：
A和B有相同的特征值，若某个特征值为N重特征值，在矩阵λE-A中有N个线性无关的向量，但在λE-B中却没有N个线性无关的向量
则A可以相似与对角阵，而B不能相似与对角阵，从而A不相似于B
这样证明对不对？

mimamimamima · 发表于 2010-9-15 16:22

楼主研究的还蛮细的，应该是吧

530646973 · 发表于 2010-9-15 23:05

原帖由 lightout 于 2010-9-15 16:15 发表
不能相似的原因是：
A和B有相同的特征值，若某个特征值为N重特征值，在矩阵λE-A中有N个线性无关的向量，但在λE-B中却没有N个线性无关的向量
则A可以相似与对角阵，而B不能相似与对角阵，从而A不相似于B
这样证明对不对？ ...

我觉得如果前提是“对于任取λ “的话，一切都相等。但是没有这个“任取”的话就不等了原因就是你说的

sdc2010 · 发表于 2010-9-16 00:08

我觉得是不能

chen1123xuan · 发表于 2010-10-19 12:17

因为
|λI-A|
=|P的逆|*|λI-A|*|P|
=|P的逆*(λI-A)*P|
=|λI-P的逆*A*P|
=|λI-B|
所以
P的逆*A*P=B即A~B

		自动登录	找回密码
密码			注册

特征多项式相同，就一定能保证两个矩阵特征值相同么？

NEW最新资料推荐

回复 6楼 lightout 的帖子

浏览过的版块