函数展成幂级数时x的范围

wantnon

将函数展成幂级数的题目，求出展开式后写x的范围时，统统写为|x|<1，算对不？
还是必须得把收敛域精确地求出来？
--
PS：可能各位没懂我的意思。
我的意思是说，首先|x|<1时收敛是对所有幂级数都成立的。
然而真实的收敛域可能是|x|<2，当然，要想求出这个就需要实际算一把了。
但对于将函数展成幂级数的题，由于并不是求收敛域的题，所以是不是可以不管那么多，就直接写|x|<1就完事儿呢？
我之所以问这个，是因为看到有的书上是这么做的，对于将函数展成幂级数的题，不管实际收敛域是多少，都写成|x|<1。

[ 本帖最后由 wantnon 于 2010-8-15 18:29 编辑 ]

shane_c

端点处要另外求证

wantnon

楼上没有看清楚我的问题。
我的意思是说，首先|x|<1时收敛是对所有幂级数都成立的。
然而真实的收敛域可能是|x|<2，当然，要想求出这个就需要实际算一把了。
但对于将函数展成幂级数的题，由于并不是求收敛域的题，所以是不是可以不管那么多，就直接写|x|<1就完事儿呢？
我之所以问这个，是因为看到有的书上是这么做的，对于将函数展成幂级数的题，不管实际收敛域是多少，都写的是|x|<1。

365gongfei

看来楼主还是不会求收敛域

箫枫

首先|x|<1时收敛是对所有幂级数都成立的。
此话从何而来？例如∑(2^n x^n)
“不管实际收敛域是多少，都写的是|x|<1。”
什么样的书上敢这样写？

函数展开为幂级数时，不管你用了加减乘还是逐项求导逐项求积，最终还是要用到某些已知的幂级数展开式，自然是通过它的收敛域来求原函数的幂级数展开式的收敛域。

wantnon

原帖由 箫枫 于 2010-8-15 19:39 发表
首先|x|<1时收敛是对所有幂级数都成立的。
此话从何而来？例如∑(2^n x^n)
“不管实际收敛域是多少，都写的是|x|<1。”
什么样的书上敢这样写？
函数展开为幂级数时，不管你用了加减乘还是逐项求导逐项求积，最终还是要用到某些已知的幂级数展开式，自然是通过它的收敛域来求原函数的幂级数展开式的收敛域。

“首先|x|<1时收敛是对所有幂级数都成立的。”这确实不对，仅是书上的常用展开式在|x|<1内均收敛（有一些收敛域是负无穷到正无穷），于是我想当然地以为所有展开式都这样了。
红字部分解答了我的疑惑，现在我明白了。非常感谢。