线代问题 r(A*A^T)=r(A^T*A)=r(A) 吗？

hatommy

证明方程AX=0与A^TAX=0同解
AX=0 显然有A^T*AX=0
A^T*AX=0则有X^T*A^T*AX=0 即(AX)^T*AX=0，
一个矩阵和它的转置相乘是0，则矩阵是0。则有AX=0
同解说明基相同，基相同说明自由量数相等
n- r（A^T*A）=n-r（A）
则r（A^T*A）=r（A）

这样证对吗？我看李永乐辅导讲义里 有一道题用到了 r(A^T*A)<=r(A)； 到底是相等还是小于等于呢？
ps：AA^T=C -> r(A)>=r(C)=r(AA^T) 这样证明行吗？谢谢

hatommy

没有知道的吗[em:18]

scl1989

可以

壁立苍松

等于

sadone

啧啧，ls二位是从古代穿越来的吗惜字如金，不如直接回个 然 意味更加深长

证明方程AX=0与A^TAX=0同解：
Ax=AA^T.
因为方程组有解x=A^T
所以R(A)=R(A，AA^T)
即行向量组A：a1，a2，...an与行向量组AA^T：b1，b2...bn等价，所以题设成立。

r(A^T*A)<=r(A)； 到底是相等还是小于等于呢？
你自己都打了小于等于符号。你说是等于还是小于等于？
证：因为R(AB)≤R(A),  R(AB)≤R(B),  设B=A^T*，所以 r(A^T*A)<=r(A)

r(A*A^T)=r(A^T*A)=r(A)  不成立
证：R(A*A^T)≤R(A*)，R(A*A^T)≤R(A^T).
设A为4x4 矩阵。若R(A)=3，那么必有R(A*)=1。即R(A*A^T)≤1  命题不成立。
一般说来，涉及到伴随阵的秩，格外需要注意

hatommy

谢啦

scl1989

我晕，楼主的*代表伴随矩阵的上表吗？为什么看你的整个证明过程给人一种觉得是乘号的感觉呢？

hatommy

就是乘号啊~以后不用它了以免误解呵呵

dounaiman

是等于，指南里明写些了
楼主的正法也是对的。
不过话说回来，<=也包括=，所以也没错。

[ 本帖最后由 dounaiman 于 2010-8-12 17:06 编辑 ]

hatommy

仔细琢磨理一下，应该是不等于的 是小于等于