请教一个线代的问题

oraclewlm

李永乐复习全书线性方程组，课后习题选择题第二题：
设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯矩阵是：
1 -1 2 0  3
0  0 1 3 -2
0  0  0 0 6，
则自由变量不能取成：
A.x4,x5
B.x2,x3
C.x2,x4
D.x1,x3

为什么选A啊，不是自由变量只能取x2,x4吗，为什么x1和x3也可以。不明白。

initialnine

把前三列看成一个方程组，前三列的秩为2，所以，前三列中必有一个自由变量

oraclewlm

那D也不对啊

oraclewlm

不怎么懂高斯消元，取自由变量到底是要遵守什么规则呢？

jacksaid

我觉得就是一个等效性的作用，这个矩阵大体可以看成这三段x1和x2，x3和x4，x5。每一段上的向量的地位是相同的。只要带x5的都不行，因为没有再起到它作用的向量了。我其实都看不懂我在说什么，但我懂！

oraclewlm

是啊，我也看不懂。
何为主元，何为自由变量呢？

箫枫

化成行阶梯形后，主元的选择是从每一个台阶上选择一个，最终剩下的就是自由变量。
对于本题来说，一共有3个台阶：
1  -1  对应于未知量x1 x2
1 3    对应于未知量x3 x4
6       对应于未知量x5
所以，主元的选择有这样几种形式：
x1，x3，x5
x1，x4，x5
x2，x3，x5
x2，x4，x5
相应的自由变量的选择就是：
x2，x4
x2，x3
x1，x4
x1，x3

hezhouxiang

楼主看看基础解析中秩的推导节，就能明白了？其次阶梯矩阵秩为3，基础解析秩为2.，所以取x自由变量后，剩下的三个应该是线性无关的，只有这样你取的两个自由变量才是线性无关（显然不成比例）

Natearchibald

膜拜 楼主对线代的理解不是一般的深 我现在也就是能看懂 还没串起来 努力努力！

pandora2008

不太懂什么叫高斯，因为刚看到第四章。
但是A显然不对啊，x5=6啊，所以x5当然不是自由元，一看A 就不对了。
矩阵第一行表达了x1 x2 x4的关系（其实也应有x5，但x5作为常数带入了）
矩阵第二行表达了x3 x4的关系。
习惯上把x2、x4作为自由元对待。

但根据书上的措辞，感觉这只是一个习惯，就好像x+2y+3=0 你可以说是用x表达的y的函数，也可是说是用y表达的x的函数。
所以，B C D也可以说的通，A是无论如何都说不通了哈。
个人浅见。