请教：导函数的连续性与原函数连续性是否有关系？

深邃晨曦

如题，现在正在琢磨复习全书第二章P84 的一道分段函数求导的问题（附件里就是）。

   给出的解答在求第二问的时候运用了第一问的结论，由此引发了思考：

   按第一问的求解，当A=0 时，才能保证“使F(x)在(-∞,+∞)连续”；如果A≠0应该是得不出此结论的，因为F(x)当x→0时的极限≠F(0)。[不知道是否可以这样理解]

   第二问是求已知的分段函数的导数，并讨论该导函数的连续性，这样发问的时候是否就已经保证在求第一问时给出的条件“使F(x)在(-∞,+∞)连续”是成立的？故第一问的结论是可以用到第二问的解答里？

   最近想这些函数连续、可导的问题脑子都想短路了，望得到高手点拨，小女子不甚感激！！

[ 本帖最后由 深邃晨曦 于 2009-8-20 22:14 编辑 ]

yumao42

1问：是的，如果A不等于0，那F（x)就在x=0上出现第一类间断点
2问：第二问的求解过程中显然用到了第一问的x=0时F(x)=A=0这个条件

深邃晨曦

回楼上的沙发

“第二问的求解过程中显然用到了第一问的x=0时F(x)=A=0这个条件”这个我当然是知道的，可能我上面还没有表达清楚：
用到了第一问的条件那肯定是承认第一问的结论，但是第一问中求出A=0 是为了满足条件“F(x)在(-∞,+∞)连续”，在第二问中求F(x)的导数是否说明此时“F(x)在(-∞,+∞)连续”是成立的？因此就可以用第一问A=0的结论？
总结一下，其实我想问的就是在此题中，求第二问时，第一问的条件“F(x)在(-∞,+∞)连续”是绝对成立的吗？

yumao42

成立的。
另外一方面因为可导一定连续，答案中都已经在求导了，怎么会不连续
你的意思不就是第二问中能否使用第一问的条件

深邃晨曦

我的顾虑是：
1、第二问是要讨论导函数的连续性，如果导函数不是连续函数，对原函数的连续性会不会有影响？
2、进而想到有(可去)间断点的函数(在整个定义域上)会不会有导(函)数？

sheikn

原帖由 yumao42 于 2009-8-20 13:35 发表
成立的。
另外一方面因为可导一定连续，答案中都已经在求导了，怎么会不连续
你的意思不就是第二问中能否使用第一问的条件

给她个例子吧，我也在思考

yumao42

你的顾虑比较深奥啊。。。第一个问题我觉得如果导函数不是连续的，原函数也不会是连续的了，当然事事没绝对
第二个疑问，原函数不连续，导数不存在，导数几何意义是斜率，只有曲线才有斜率，如果只是一个点，是没斜率的

深邃晨曦

[em:18] 一般遇到不会做的题我的顾虑就会比较深奥，一定要把这道题各个环节想的非常顺畅了，才会作罢，不然下回自己还是不会做。。

目前书本上给的可导或者连续的定义都是按某一点可导或连续来下定义的，上升到整个定义域区间或者某邻域时，就比较容易犯迷糊，毕竟没有准确的定义参考。

所以假如一个光滑的曲线，就假定是y=x^2 (x的平方) ,假如它有一个可去间断点，那它在非间断的区域是有导数的，在间断点是否有导数应该是用导数的定义来单独考虑，那这样说来在整个定义域区间来说能说它是可导的吗？假如在间断点左右导数相等，判定间断点导数存在，那能说它的导函数是连续的吗？

yumao42

我要被你问哭了～而且你的问题都很抽象[em:15]

深邃晨曦

[em:15] 我也要哭了，谁能来拯救我啊~~我昨晚想到12点才睡。。。