武汉理工金融学/数量经济学/统计学试题

lucheng1987

武汉理工大学2001年硕士研究生入学考试试题
专业 应用数学   课程 概率论与数理统计
(共 2 页,共 7 大题,答题时不必抄题,标明题目序号)
(考试时间3小时,满分100分,武汉理工大学数学与物理系。)
一、(15分)
求下列问题的概率:
1.(生日问题)设有r个人,r≤365,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性是均等的。问这r个人有不同生日的概率是多少?(5分)
2.(配对问题)某营房有n个战士,每个战士有1枝枪。一次夜间紧急集合,每个战士随意抄起1枝枪就冲出营房。天亮以后战士们回到营房,发现没有一个战士拿对自己的枪的可能性是多少?(5分)
3.(巴拿赫问题)某人的口袋里经常装有两盒火柴,每盒n枝。使用时,在这两盒中等可能地任取一盒,然后从中抽取1枝。如果有1盒火柴刚好用完,问此时另1盒中恰有r枝火柴的概率是多少?(5分)

二、(15分)
求下列问题的密度函数:
1.设随机变量(随机变数)X, Y相互独立,且都服从[0,1]区间上的均匀分布,求随机变量Z=X+Y的密度函数fZ (z)。(7分)
2.将火炮射击目标作为坐标原点,设火炮射击时弹着点的坐标(X, Y)服从二维正态分布,密度函数为:

试求弹着点与目标之间的距离 所服从的分布密度函数f R  ( r )。(8分)

三、(15分)
求下列问题的数字特征:
1.(χ2分布)设随机变量X 的密度函数为

其中n为正整数,试求E(X)与的D(X)。(7分)
2.(圆上的均匀分布)设二维随机变量(X,Y)服从以原点为圆心,r为半径的圆上的均匀分布,证明X,Y的相关系数为0,但X,Y不独立。(8分)





四、(10分)
求服从标准正态分布N(0,1)的随机变量X的特征函数φ(t)。

五、(12分)
讨论标准化变换问题:
1.设X服从一般正态分布N (μ, σ2),作标准化变换 Y =(X -μ)/ σ。说明Y的分布,并予以证明。(4分)
2.设X服从一般分布,有E(X)=μ<∞,D(X)=σ2<∞,作标准化变换 Y =(X -μ)/ σ。求出Y的数学期望与方差。(4分)
3.设独立的随机变量序列{Xk}有E(Xk)=μk<∞,D(Xk)=σk2<∞,k=1,2,3,…,令 ,μn=E(Zn), σn2=D(Zn),作标准化变换 Y =(Zn-μn)/ σn 。说明Y的分布,(不必证明)。(4分)

六、(12分))
1.设总体X的分布函数为F(X),X1,X2,…,Xn 为其子样(样本),试求子样中的最大项Xn*=max(X1,…,Xn)的分布函数Fn(u)和密度函数fn(u),子样中的最小项X1*=min(X1,…,Xn)的分布函数F1(v)和密度函数f1(v)。(7分)
2.若总体X服从参数为λ的指数分布，其分布函数为

试写出子样X1,…,Xn的最大项Xn* 和最小项X1* 的分布函数和密度函数Fn(u)、fn(u)、F1(v)、f1(v)。(5分)

七、(21分)
设总体X服从正态分布N (μ, σ2),
1.求出参数μ 及σ2 的极大似然估计量 ;(6分)
2.分别讨论 的无偏性;(6分)
3.将 改进为无偏估计量;叙述罗-克拉美不等式;然后分别验证改进的无偏估计量是μ和σ2优效无偏估计量和渐近优效估计量。（9分)


武汉理工大学2002年硕士研究生入学考试试题
专业 应用数学   课程 概率论与数理统计
(共 2 页,共 7 大题,答题时不必抄题,标明题目序号)
(考试时间3小时,满分100分。)

一、(10分)
设有n个人排成一行,甲与乙是其中的两个人,求这n个人的任意排列中,甲与乙之间恰有r个人的概率(r<n)。如果n个人围成一圆圈,试证明甲与乙之间恰有r个人的概率与r无关,都是 (在圆圈排列中,仅考虑从甲到乙的顺时针方向)。

二、(13分)
一架电梯开始时有6位乘客,并等可能地停于10层楼的每一层,假定乘客离开的各种可能性具有相同的概率,求下列事件的概率:
1)某一层有2位乘客离开;              2)没有2位乘客在同一层离开;
3)恰有2位乘客在同一层离开;          4)至少有2位乘客在同一层离开。

三、(10分)
将火炮射击目标作为坐标原点,设火炮射击时弹着点的坐标(X, Y)服从二维正态分布,密度函数为:

试求弹着点与目标之间的距离 所服从的分布密度函数f R  ( r )。

四、(12分)
设某商店里每天来到的顾客数X服从泊松分布, ;每个顾客是否购买某种商品是独立的,概率为p;
1).证明恰有k个顾客购买该种商品的概率也服从泊松分布,求出其参数;
    2).求出其均值与方差。

五、(10分)
设二维随机变量(X,Y)服从以原点为圆心,r为半径的圆上的均匀分布,证明X,Y的相关系数为0,但X,Y不独立。

六、(15分)
设随机变量(X,Y)的联合分布为

所定义的三项分布,其中 。按照下列方法求 , , , 及X,Y的协方差Cov(X,Y):
1)由直接计算;
2)分别把X和Y表成r个随机变量的和。

七、(10分)
设 为总体X的一个样本, , , 表示样本均值, 表示样本方差。
1)求 , ;
2)证明 是 的无偏估计。

八、(20分)
    设 为总体的一个样本,X服从指数分布:

    1)求参数 的极大似然估计;
    2)求参数 的矩估计;
3)证明  ,已知 ;
4)求 的置信度为( )的单侧置信下限。


武汉理工大学2003年硕士研究生入学考试试题
专业 应用数学、数量经济学   课程 概率论与数理统计
(共 2 页,共 7 大题,答题时不必抄题,标明题目序号)
(考试时间3小时,满分150分。)

一、(事件与概率)(25分)
1.某工厂有4个车间生产同一种产品,产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%,又这4个车间的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。
(1)若从出厂产品中任取一件,问恰好抽到不合格品的概率为多少?
(2)若从出厂产品中任取一件恰为不合格品,问它属于第一个车间的概率是多少?
2.已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ( ),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 ,求一个母鸡恰有 个下一代(即小鸡)的概率。
二、(离散型随机变量)(25分)
1.从数字 中任选两个不同的数字,以 表示这两个数字之差的绝对值,
(1)求随机变量 的分布列;  
(2)求 。
2.设 是两个独立的随机变量,它们分别服从参数为 和 的普哇松分布。
(1)        求 的分布;
(2)        求条件分布 。
三、(连续型随机变量)(25分)
1.确定下列函数的常数 ,使得该函数是一元分布的密度函数:
(1) ;
(2) 。
2.设二维随机变量 的密度函数是
,
(1) 求  ;
  (2)   求  , ;并验证X、Y是否独立?
四、(大数定律与中心极限定理)(16分)
1.叙述并证明契贝晓夫不等式;
2.叙述并证明契贝晓夫大数定律;
五、(数理统计的基本概念)(24分)
1.设 及 为两组子样观测值,它们有如下关系

(1)求子样平均值 与 之间的关系;
(2)求子样方差 与 之间的关系。
2.设母体 ,子样方差 ,求 ,并证明当 增大时,它为 。
六、(参数估计)(18分)
设随机变量 服从普哇松分布:

其中 是一未知参数,
(1)求 的矩估计与极大似然估计;
(2)计算 的信息量 ,并说明参数的一个无偏估计的方差达到罗-克拉美不等式的下界。
七、(假设检验)(17分)
设正常生产时,轴承内环的锻压零件的平均高度 服从正态分布 。现从中抽取16只内环,其平均高度 毫米。
(1)求内环的平均高度的置信度为 的置信区间。  
(2)设正常生产时的零件平均高度为30毫米( : 毫米),试在显著性水平为5%的条件下,检验现在的样品是否为正常。



武汉理工大学2004年硕士研究生入学考试试题
课程     概率论与数理统计   
(共 2 页,共 4 大题,答题时不必抄题,标明题目序号)
(考试时间3小时,满分150分。)

一、(分房问题)(35分)
设有 个粒子,每个粒子都等可能地进入 个能级状态中的任一个能级状态( )。求下列事件的概率:
1.(粒子可辩):
(1)指定的 个能级状态中各有一个粒子;
(2)恰好有 个能级状态,其中各有一个粒子;
(3)至少有两个粒子处于同一能级状态;
2.(粒子不可辩):
(1)某一个指定的能级状态恰好有 个粒子;
(2)恰好有 个能级状态没有粒子;
(3)指定的 个能级状态中正好有 个粒子。
二、(二项分布)(35分)
1.(分布列)
(1)简要推导二项分布 的分布列;
(2)简要推算二项分布 的概率在 取何值时取得最大值;
2.(数字特征)
(1)用两种不同的方法计算二项分布 的期望;
(2)用两种不同的方法计算二项分布 的方差
3.(近似计算)
  (1)简要说明二项分布的普哇松(Poisson)近似;
  (2)简要说明应用中心极限定理近似计算二项分布的概率 ,( )。
三、(均匀分布)(40分)
1.设二维随机变量 服从圆上的均匀分布:

(1)        求  ;
(2)求边缘分布  ,并验证X、Y是否独立?
(3)求条件分布 , ;
  (4)求数学期望 、 、 ;
  (5)求协方差 ,并说明随机变量的协方差为0与独立性之间的关系。
2.设母体 服从均匀分布:

是一随机子样。
  (1)求未知参数 的矩估计 ;
  (2)求未知参数的极大似然估计 。
  (3)分别说明 、 作为点估计的无偏性质。

四、(次序统计量)(40分)
1.设母体 的密度函数为 , 为取自这一母体的一个子样,其次序统计量为 。
(1)证明第 个次序统计量 的分布函数为
(2)证明第 个次序统计量 的密度函数为

(3)写出最大次序统计量 的密度函数;
  (4)写出最小次序统计量 的密度函数。
2.设母体 有密度函数 , 为其容量为4的次序统计量,求 的密度函数 和分布函数 。

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lucheng1987

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