全书概率论数理统计部分疑问求大神解答

Camel4122

如图，第一遍做时感觉简单没认真看。
二刷发现Y1,Y2都只是一维正态而已。单凭相关系数为零怎么能推到相互独立呢。
求大神能够解释下。。。

全书19的403页

Camel4122

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Camel4122

想了很久，一个可行的解释是：

由于X2 X3独立且服从一维正态，所以根据约定（X2,X3）服从二维正态，所以他们行列式不为零的线性组合（X2+X3,X2-X3）也服从二维正态，所以通过求出相关系数为0，可以得到Y1 Y2独立。

这样逻辑上完全说得通，所以这就是本题解法潜在想要表达的吗？

抑或是我想太多？毕竟答案中简单的“所以Y1，Y2独立”。不过我确实想不到其他的解释了。求大佬。