求解答

唐长老49

设A,B为n阶正交阵，证明|det(A+B)|≦2的n次方

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清心台

如果$|A|+|B|=0$, 则有$|A+B|=|A||B^T+A^T||B|=-|A+B|$, 从而$|A+B|=0$, 结论成立.

现在设$|A|=|B|, C=A^TB$, 则$C$是正交矩阵且$|C|=1$, 于是$|A+B|=|A||E+A^TB|=|A||E+C|$. 如果$C$有特征值$-1$, 则$E+C$有特征值0, 从而$|E+C|=0$, 此时结论成立.

设$C$没有特征值$-1$, 可设$C$有$s$重特征值1, $a_j+b_ji$为$C$的复特征值,$a_j^2+b_j^2=1, j=1,2,\cdots, m, i^2=-1$. 由于$C$的复特征值是成对出现的, $s+2m=n$, 于是$E+C$ 的特征值是$s$重特征值2和$1+a_j+b_ji, 1+a_j-b_ji, j=1,2,\cdots, m$. 因此, 当$|A|=1$时,
$$|A+B|=|A||E+C|=|E+C|=2^s\prod^m_{j=1}((1+a_j)^2+b_j^2)=2^s\prod^m_{j=1}(2+2a_j)\leq 2^s\cdot 4^m=2^n.$$
当$|A|=-1$时$|A+B|=-|E+C|\geq -2^n$.