微积分中的哲学（4）

战地黄花

       微积分中哲学（38)  … 理解自变量x变与不变的分析，就能顺利掌握微元分析法，建立积分模型。微元分析三部曲中，第一步“分割（区间）”是基本。（具可加性目标量被相应分割。）第二步“设点x处有微区间d x”是关键。x既是任給的，在计算目标微量时又视为固定的。在微区间内，取连续的分布密度为常数f(x)，则微目标量为f(x)dx，最后数学理论保证，目标量是被积式f(x)dx的定积分。
       微积分中哲学（39) … 设平面有界曲域D上有连续的密度f(x,y)分布，若D在x轴上的投影为区间(a,b)，则任取(a,b)内一点x，视为不变，过点x的竖直线在D内被截下一段。将面密度f(x,y)于这一段从下往上对y积分，就得到点x处的线密度，记为I（x），（在<概率>中称为“关于x的边沿密度”。) I（x）在区间(a,b)上积分，即得二重积分值。也就是D上分布的总质量。
       微积分中哲学（40) … 理工类学生可用质量模型统一五个“标量”积分。一元微积分是基础，重概念，重条件。多元微积分矛盾转化，重点在于如何简化复杂问题。具体处理高维积分时，矛盾主要方面转化为求几何载体于坐标面上的投影，以便将其转化为逐次积分。比如，计算V上三重积分，需先求立体V在水平面上投影D，在D内任一点M（x，y）处，体密度f(x,y，z)沿竖线由下往上对z积分，得M处的面密度I（x,y），V上三重积分转化为此面密度在D内二重积分。转化过程称为“先一后二积分法”。
       微积分中哲学（41) … 具体问题具体分析。标量曲面积分可视为，“曲面块S上有面密度分布，S在水平坐标面面上的一对一投影为有界区域D，求曲面上分布的质量。”应用微元分析法，将曲面块分割为若干“直径”微小的微块。问题的特殊点在于，微曲面块面积，显然比它的投影面积大。必须寻找微面积转换因子。找到后才能转化为D上二重积分。下意识注意这个特点，就自然能记住，“曲面积分三准备，一项一项算在前。”（一对一投影，面积转换因子，函数变量）。
       微积分中哲学（42) … 学习级数，基本问题是，“级数是否有和函数？”核心问题是，“如果每项函数都可导，函数项级数的和函数S（x）在什麽条件下才一定可导？”且还有个与有限和类似的进一步问题，“和函数的导数，是否正好是各项导数（按原序）所成的级数的和函数？”若是，则称这个计算为，级数可以“逐限求导”。高等微积分有定理：“一致收敛”的函数项级数就可以逐限求导。
      微积分中哲学（43) … 在“静态观察”下，函数项级数，即（收敛域内）逐点的数项级数。每个数项级数各有其收敛速度。“函数项级数在收敛域内一致收敛”，是说，尽管收敛域是个不可列的无穷集，但级数在各点的收敛速度是能被统一控制的。我作过教学试验，非数学专业学生无法理解“一致收敛”条件。为了廻避“一致收敛”，大学数学只讲幂级数。幂级数在其收敛区间内天然地“一致收敛”。即幂级数在其收敛区间可以“逐限求导”
      微积分中哲学（44) … 从中值定理角度思考，一个n阶可导函数能表示为n-1阶泰勒多项式+拉格朗日尾项。哪任意阶可导函数f（x）会怎样呢？显然，n趋于无穷时，泰勒多项式顺理成为一个幂级数。称为函数f（x）的泰勒级数。此时尾项将如何变化呢？如果尾项极限为0，那就产生质变，函数等于幂级数。即，函数f（x）恰是它的泰勒级数的和。或说，函数f（x）被展开成幂级数。
      函微积分中哲学（45）… 历史上有数学家举出了反例。即，有这样的任意阶可导函数f（x），当n趋于无穷时，其泰勒公式尾项的极限却不会为0。换句话说，由无穷阶可导函数f（x）在中心点x0可以生成一列泰勒系数，用这列系数可以“写出”函数f（x）的泰勒级数。但反例表明，泰勒级数的和函数却不一定就是f（x）。很怪异啊，鸡下了蛋，蛋孵出的不一定是鸡。反例是质变的标志。在讨论傅立叶级数时也有类似的问题。抓住了这个主要矛盾，你才能深刻领会並记住，将函数f（x）展开为三角级数后，要用＂收敛定理＂来判断，哪些点上展开式不成立。
      微积分中哲学（46）… 对无穷阶可导函数f（x），要检验n趋于无穷时，其泰勒公式的拉格朗日尾项是否趋于0，往往非常困难。为了廻避这一困难，大学数学教材先给出唯一性定理。即，“无论用什麽方法将f（x）展为幂级数，这个幂级数必定是f（x）的泰勒级数。”在唯一性定理保证下，在熟记五个常用展开式基础上，可试用间接法，及逐项微积技术，来将f（x）展为幂级数
      微积分中哲学（47）… 唯一性定理意义深远。一般地说，若一个集合的全体元，可以与某一数集（或有序数组集）成功一一对应，那每个元所对应的数（或有序数组）即称为它的坐标。坐标是“区分”的手段。学号是学生的坐标，经纬度是地球表面坐标。《线性代数》中，每个向量可以被极大无关组唯一线性表示，其表示式的有序系数组就是此向量（在该极大无关组下）的坐标。
       微积分中哲学（48）… 在五个常用展开式中，正弦函数sin x与指数函数exp(x)的展开式在全数轴上成立。因而可以把展开式作为该函数定义。美国有不少《大学数学》教材，都提前在“极限的应用”部分讲数项级数“和”的概念，紧跟着就要求学生记住正弦函数sin x与指数函数exp(x）的展开式定义。视为公理应用。相当省事。
       微积分中哲学（49）… n趋于无穷时，收敛（数项）级数的通项是无穷小。 在数项级数（调和级数）中，通项为1/n的级数发散，而正数q小于1时，通项为（1/n）q次方的级数收敛。但你不能说，通项无穷小阶数低于1时级数收敛。 ln n是无穷大怪例。 n趋于正无穷时，它是无穷大，但它比n的任意正次方都更低阶。其倒数当然是任意低阶的无穷小。学习数项级数请记住，通项为1/nlnn的级数发散，而通项为1/n（lnn）平方的级数收敛。这是客观事实，但难以用无穷小理论解释。

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