帮忙看看这道题怎么解

onematyan

前面那位贴图的差不多给出了正确答案。她证明的是 若f的最值在端点处取得，则题目给的方程在0到1-t上有解，其中t是大于0小于二分之一的数。假设f的最值均不在端点处取得，设在点a处取最大值M，b点处取最小值m，考虑如下四个不等式：

onematyan

*一下 可以发现 当t介于0到二分之一时，前面四个不等式中必有两个异号不等式成立 然后就能使用介值定理了。

onematyan

上面的f(a)=M f(b)=m，M和m分别为f的最大值和最小值。当最值在0或1处取得时，前面有一层已经给出了证明，我们假设a，b均不是端点。

onematyan

四种情况分别是a和b均小于t；a和b均大于1-t，a小于t，b大于1-t；a大于1-t，b小于t。当t介于0到1/2时，能找到两个异号的不等式满足定义。
比如，当a，b都小于t时，由于t小于1/2，a+t<2t<1, b+t<2t<1,并且t<1-t, a,b属于0到1-t，从而F(a)=f(a+t)-f(a)<0,F(b)=f(b+t)-f(b)>0.

汤立辉

onematyan 发表于 2015-12-23 01:07
四种情况分别是a和b均小于t；a和b均大于1-t，a小于t，b大于1-t；a大于1-t，b小于t。当t介于0到1/2时，能找 ...

分四种情况讨论？

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茶叶霸道

onematyan 发表于 2015-12-23 01:07
四种情况分别是a和b均小于t；a和b均大于1-t，a小于t，b大于1-t；a大于1-t，b小于t。当t介于0到1/2时，能找 ...

a，b都不能大于1—t 哦，题目限定了只能在［0，1—t］取值哦，比如你说当a在大于1—t的某个地方取得最大值，那么f（a加t）就没有意义啰，因为a加t都大于1了。

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onematyan

茶叶霸道 发表于 2015-12-23 09:30
a，b都不能大于1—t 哦，题目限定了只能在［0，1—t］取值哦，比如你说当a在大于1—t的某个地方取得最大 ...

a,b都大于1-t的时候，你可以取别的嘛，不然讨论4种情况做什么呢。我意思就是说，总能找到两个异号的不等式，使得它们落在有意义的范围内。

a,b都大于1-t时，按照下面的论证。
a,b<1,a-t<1-t,b-t<1-t, F(a-t)=f(a-t+t)-f(a-t)=f(a)-f(a-t)>0, F(b-t)=f(b-t+t)-f(b-t)=f(b)-f(b-t)<0.  这个时候还需要验证的就是a-t和b-t是不是大于0，因为我们需要a-t,b-t落在[0,1-t]，但这个没问题，因为t<1/2，a>1-t, a-t>1-2t>0，同理 b>1-t, b-t>1-2t>0.

还要写另外两种情况的证明。

onematyan

汤立辉 发表于 2015-12-23 09:25
分四种情况讨论？

嗯 暂时没想到别的办法。也许还有更好的办法吧。

茶叶霸道

onematyan 发表于 2015-12-23 09:50
a,b都大于1-t的时候，你可以取别的嘛，不然讨论4种情况做什么呢。我意思就是说，总能找到两个异号的不等式 ...

感觉你讨论的大部分都成立了，但还有一种情况不成立。
如果f取最值的情况是这种呢：在a>1-t时取得最大值，在b<t 时取得最小值。得不出一个大于0，一个小于0，而是都同号了。我觉得这种情况要考虑很好地使用f（0）=f（1）
你写了这么多解答，也指出了很好的思路，谢谢。

来自iPhone客户端

onematyan

茶叶霸道 发表于 2015-12-23 10:55
感觉你讨论的大部分都成立了，但还有一种情况不成立。
如果f取最值的情况是这种呢：在a>1-t时取得最大值 ...

对 是有问题。另外两种情况不一样。需要再想想。