【考研帮干货】消灭重难点之中值定理应用

刘妍math

　　考研帮说：冲刺期来啦，帮帮为大家准备了一大波干货，本期内容的主题是导数应用中的难点——中值定理，一起来看看吧。>>>点击查看数学重要题型

      

　　导数的应用分为四个方面的问题：
        
　　①描绘函数图形方面，包括单调区间与极值、凹凸区间与拐点、函数的渐进线等，这方面相对来说解题思路比较固定，考生根据解题步骤可以按部就班做题；
        
　　②方程根的应用，形式相对灵活，考察根的个数情况，或者已知根的情况讨论未知参数的取值范围，这类问题一般是从描绘函数图形角度考虑，比较常见；
        
　　③关于中值定理的证明题，是考生普遍认为的一个难点；
        
　　④数学三的考生需要考虑的导数在经济学中的应用问题，去年的真题中就有涉及。
        
　　考研帮刘妍老师建议：同学们应就这几方面的应用总结归纳，切不可只看重其中某一方面，因为导数应用是考研数学的命题热点，同学们需重视，若有某一方面的薄弱环节，可以在考前抓紧时间熟悉再熟悉。
        
　　现就中值定理方面的应用，老师有几点要叮嘱大家。
        
　　1、有关中值定理的证明问题，将中值定理和介值定理或几分中值定理结合命题是比较常见的命题形式。
        

        

        
　　4、对于\"存在两个点\"的问题，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。
        
　　5、题设中含有二阶或者二阶以上导数时，应注意考虑用泰勒公式进行分析讨论。
        
　　6、证明不等式也是一种常见的形式，先回想一下，证明不等式的一般方法有：
　　①利用单调性证明不等式；
　　②利用极值与最值证明不等式；
　　③利用凹凸性证明不等式；
　　④利用拉格朗日中值定理证明不等式；
　　⑤利用泰勒公式证明不等式。
        
　　相对来说，证明不等式有一定的步骤可循，要么直接移项构造辅助函数，要么先将不等式做适当变形后再构造辅助函数，应用拉格朗日中值定理的难点在于找到合适的函数，使其在某两点的函数值之差与要证的不等式联系起来。
        
　　如果题目中有二阶导数信息，或者辅助函数的一阶导数不能确定符号，需要二阶甚至二阶以上的导数信息才能证明不等式，此时可直接考虑用泰勒公式进行证明。
         
　　【本文核心内容由考研帮特邀约稿人刘妍老师供稿】
　　（注：本文为考研帮原创，转载请注明出处，否则考研帮将追究相关法律责任。）

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张娟july

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