关于一元分段函数的可导性与连续性问题

咲玲丶

如图，很想问问研友这种方法是不是有错误，一般的证明思路都是先证明函数在该店的连续性，如果连续的话，在讨论该点的可导性，如果该店不连续的情况下，导数不存在。而在复习全书中提供的方法，左导数=右导数就证明该导数连续，这样做会不会有点唐突呢，因为"左导数=右导数"这种单侧导数的证明方法是建立在导数在该点连续的基础上才成立的 。   所以我认为该方法是错误的，不知研友们怎么看。

恩恩wuhaha

没有图啊

jackson23sun

有点没太看懂你的意思，我的理解是f'(x0-)=limf(x)-f(x0)/x-x0当x→x0-时，f(x)在x0处肯定连续，如果不连续的话，那分子极限limf(x)-f(x0)不为0，分母极限为0，则左导数不存在，右导数也是一样的道理。把f(x)-f(x0)/x-x0这整个表达式看成是g(x)，任何一个函数在某一点x0处的极限存在，只需要它在x从左右两侧趋近x0时极限存在且相等就行，此时limg(x→x0)=limg(x→x0-)=limg(x→x0+)只要后面两个极限存在且相等，就能推出第一个，再把g(x)=f(x)-f(x0)/x-x0带入第一个极限，就正好是limf(x)-f(x0)/x-x0当x→x0时的极限存在，这个极限正是f'(x0)导数定义式，所以左导数=右导数可以推出在该点倒数存在。。。

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三峡大学考研

函数在某点的左导数和右导数都存在,则在该点连续，并不需要它们相等，这个直接由定义可得

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三峡大学考研

jackson23sun 发表于 2015-7-19 19:09
有点没太看懂你的意思，我的理解是f'(x0-)=limf(x)-f(x0)/x-x0当x→x0-时，f(x)在x0处肯定连续，如果不连续 ...

原来大神已经回复了

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容桂双嬷

三峡大学考研 发表于 2015-7-19 19:11
原来大神已经回复了

还不给大神加威望？。。。

jackson23sun

三峡大学考研 发表于 2015-7-19 19:11
原来大神已经回复了

你的回答每次都让我有点郁闷，感觉同样的问题，被你一诠释瞬间就那么精辟，感觉是不是该滚回去学语文了。。。

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jackson23sun

容桂双嬷 发表于 2015-7-19 19:13
还不给大神加威望？。。。

嬷嬷，你还是能者多劳吧，多多挽贴。。。

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容桂双嬷

jackson23sun 发表于 2015-7-19 21:49
嬷嬷，你还是能者多劳吧，多多挽贴。。。

你的爱疯打字爽，不像我们安卓的，键盘难看不说，还一指戳俩。

咲玲丶

jackson23sun 发表于 2015-7-19 19:09
有点没太看懂你的意思，我的理解是f'(x0-)=limf(x)-f(x0)/x-x0当x→x0-时，f(x)在x0处肯定连续，如果不连续 ...

谢谢大神