不定积分中为什么有第一类间断点一定没有原函数

永无止境的学习 · 发表于 2015-6-10 21:48

大神求解拜托拜托

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多余的流星zy · 发表于 2015-6-10 21:56

既然是积分的话，应该能求得出原函数的呀

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多余的流星zy · 发表于 2015-6-10 22:02

书上有没有这句原话呢

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灵力崩解 · 发表于 2015-6-10 22:04

你这句话说的并不准确。
若函数f(x)定义在[a,b]上，同时在[a,b]内含有第一类间断点，则在[a,b]上f(x)一定没有原函数。
证明：设x=c，a<=c<=b是f(x)第一类间断点。
假设存在F(x)使得F(x)是f(x)的一个原函数，显然F(x)连续，且有F`(c)=f(c)。
而x=c为第一类间断点，根据其定义，f(x)在x=c的左右极限均存在但不等。
也就是F(x)的导数在x=c点左右极限均存在，根据单侧导数极限定理，左导数等于导数在c点的左极限，右导数等于导数在c点的右极限。而左右极限不等，故x=c点的左右导数不等，与F(x)在x=c可导矛盾。
故不存在[a,b]上的原函数