请教各位X,Y均服从正态分布。请举出X+Y不服从正态的反例

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1.X,Y均服从标准正态分布,为什么X+Y不服从标准正态分布?

我知道课本上说XY需要独立才能保证其线性组合服从正态分布。但是有的参考书上说令X=-Y 则X+Y=0  这个例子我感觉不正确，因为正太密度函数里自变量是带平方的，即使x，y是相反数不也出来都是正数吗？X+Y=0又不能保证函数值的和=0，那么两个密度函数的和还是正态密度函数吧？所以还有没有其他例子呢？

2.另外，课本上提到，X、Y独立时，线性组合aX+bY服从正态分布这两者是充要条件吗？我们知道EXY=EXEY的充要条件实际上是X,Y不相关而不是独立，独立只是一个充分条件。那么同理类推线性组合aX+bY是不是只要不相关就是服从正态分布的充要条件？


这两个问题有点深，望各位不惜赐教