本帖最后由 战地黄花 于 2012-10-10 23:36 编辑
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。 基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 数学概念第一是定义。定义是最基本的游戏规则，定义是数学逻辑的起点，定义是数学推理的依据。 深刻的概念意识会给我们带来思维能动性。 1。《线性代数》中最为典型的范例 —— 《线性代数》的前置概念是“方程（组）的解（根）”。 “如果把一个数（或向量）代入方程（组），方程（组）就化为恒等式，则这个数（或向量）就是方程（组）的解（或解向量）。” 这是初等数学的内容。 很多学生在《线性代数》中学到， “齐次线性方程组AX = 0的两个解向量的和，乃至任意有限个解的线性组合，仍然是它的解。” “非齐次线性方程组AX = b的两个解向量的和，通常就不会再是它的解。” 往往根本没有“把和向量（或线性组合）代入方程组验证”的下意识冲动。他们只有眼前的两行中文字。 历史的“概念意识欠债”使这些学生学习《线性代数》严重地先天不足。 （潜台词：“你也许就是这样的。”） 上述下意识冲动就是“概念意识” 带来的思维能动性。概念意识越深，这种思维能动性越强。 “方程（组）的解（根）”概念意识深刻，你进一步可以有如下之类反应： 看到恒等式（A-λE）α= 0 时，就能联想到，“向量α是齐次线性方程组（A-λE）X = 0 的非零解”。 然后，你自然会想到“齐次线性方程组有非零解的充要条件”，……，逻辑推理自然而然，水到渠成。 …………………………………… 2。“方程的解”概念应用在《高等数学》 在《高等数学》微分方程部份，同样有类似问题。这里有前后三次重要运算，都运用了微分方程解函数概念。形成一个常用技术—— “运用已知微分方程作约束条件的待定系数法” 计算1 ——常数变易法 已知一阶线性微分方程 y′+ p（x）= q（x）, 相应的齐次方程 y′+ p（x）= 0的一个非0特解y（x），再求其自身的一个特解 y*（x） 设 y*（x）= C（x）y（x） ，带入原方程得恒等式，再利用“y（x）是相应的齐次方程的解”，就产生关于C（x）的最简微分方程。 （潜台词：反复应用“方程的解概念”。） 计算2 ——求二阶常系数齐次线性微分方程的基础解系 二阶常系数齐次线性微分方程 y″+ p y′+ q y = 0 的基础解系，由两个线性无关解（即两个解函数的商不是常数）组成。 猜指数函数 y = exp（λ x） 是解 ，带入原方程，消去指数函数，得到“特征方程”—— 未知量λ的一元二次方程 λ² + p λ + q = 0 两个不相等的根，相应得到两个线性无关的指数函数解。组成基础解系。 如果特征方程恰有二重根λ ，只能相应产生一个解函数 exp（λ x） ，则可设另一个解函数为 y = u（x）exp（λ x） 应用“方程的解概念”，带入原方程，消去指数函数，就得未知函数 u（x）所满足的微分方程。且实质上是个可降为一阶的微分方程。 （潜台词：与常数变易法一个形式，同样道理。） 由此还产生了一类可作为考研“坡度题”的微分方程题目 —— “设有二阶变系数齐次线性微分方程 y″+ p（x） y′+ q （x）y = 0 ，已知它有一个非零的解函数 y = u（x），求它的通解。” 实际上，只需再求一个与 y = u（x）线性无关的解函数。两个解函数组成基础解系。 与上述问题一样，设之为 y = v (x) u(x) 应用“方程的解概念”，带入原方程，必定得未知函数 v（x）所满足的微分方程。且实质上是个可降为一阶的微分方程。 计算3 ——求二阶常系数线性微分方程 y″+ p y′+ q y = f（x）的特解 最基本最常用的是，f（x）= n次多项式P（x）•exp（λ x） 令微分方程有特解 y*（x）= m次多项式 Q（x）•exp（λ x） （潜台词：与计算2中所设的解函数类似。） 带入原方程，消去指数函数，转换为两个多项式恒等，即 Q″(x) + (2 λ + p ) Q′(x) + (λ² + p λ + q) Q（x）= P（x） 多项式恒等，各次幂相应系数相等得方程。 λ² + p λ + q ≠ 0，即 λ 不是特征根时，取次数m = n，记为Q n（x），共有n+1个待定系数，恰好n+1个方程。 λ 是单特征根时，取 y*（x）= x Q n（x）•exp（λ x），仍然是n+1个待定系数，恰好n+1个方程。 λ 是二重特征根时，取 y*（x）= x²Q n（x）•exp（λ x）
熟悉三个计算，掌握了新技术，线性微分方程再无难。 如果不熟习“方程的解概念”， 如果只会背“一阶线性微分方程通解公式”，热衷于历史沉渣“算子法”，那就一点不入门。遇上“擦边题”束手无策。 | 
发表于 2012-10-9 22:31
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