关于轮换对称性

爱喝纯牛奶

在积分中，轮换对称性化简积分应满足什么条件？ 是只要被积函数满足轮换对称性而不管是什么样的积分区域，还是必须被积函数和积分区域都要满足轮换对称性？最近对此有点疑惑，欢迎讨论！

Out_of_Infinity

如果是二元函数在二维区域积分，其实任何情况下(不管D是否关于y=x对称)都可以同时交换积分函数和积分区域的y和x，设D进行轮换之后的区域为D'，则D'与D必定关于y=x对称（D自身和D'自身未必关于y=x对称）
但轮换的目的是为了简化，也就是交换后得到的积分和原积分必须能够通过叠加简化。而两个积分能够直接叠加的前提是区域D和轮换后的区域D'是同一个区域，这就要求D关于y=x对称。。。
对被积函数其实没有任何要求，只不过如果积分函数具有某些特征，在叠加之后能变得非常简单。。。

爱喝纯牛奶

嗯是的，很多情况都满足轮换对称但是并不用它，是因为不能使计算简化。那这样说来所有二重积分其实都是满足轮换对称性的，只是是否适合使用。那三重积分的情形呢？谢谢！

爱喝纯牛奶

Out_of_Infinity 发表于 2012-10-1 17:37  如果是二元函数在二维区域积分，其实任何情况下(不管D是否关于y=x对称)都可以同时交换积分函数和积分区域的 ...

嗯是的，很多情况都满足轮换对称但是并不用它，是因为不能使计算简化。那这样说来所有二重积分其实都是满足轮换对称性的，只是是否适合使用。那三重积分的情形呢？谢谢！

Out_of_Infinity

爱喝纯牛奶 发表于 2012-10-1 17:50
嗯是的，很多情况都满足轮换对称但是并不用它，是因为不能使计算简化。那这样说来所有二重积分其实都是满 ...

三重积分是x换y，y换z，z换x（当然，还有其它轮换次序），同样是对积分函数和积分区域同时进行轮换，为了能够直接叠加，还是要求轮换后的区域与原区域一致。

爱喝纯牛奶

Out_of_Infinity 发表于 2012-10-1 17:58  三重积分是x换y，y换z，z换x（当然，还有其它轮换次序），同样是对积分函数和积分区域同时进行轮换，为了 ...

那我觉得所有二重积分，三重积分都满足轮换对称，但是不是适合用就另说了。其实对适合用轮换对称性的题目我基本也能正确使用，就是对其他一些题目做完后，就想着是不是满足轮换对称性，越琢磨越别扭，很不喜欢这个东西，谢谢了！

Out_of_Infinity

爱喝纯牛奶 发表于 2012-10-1 18:10
那我觉得所有二重积分，三重积分都满足轮换对称，但是不是适合用就另说了。其实对适合用轮换对称性的题目 ...

如果轮换之后不能叠加（也就是轮换之后区域不同），那么就算轮换也毫无意义可言，我是这么理解的。。。

fz5722

只想说。y=x轮换对称太狭隘了。。。只要积分区域D调整后不变即可。。无所谓你怎么变。。x=-x也叫轮换。。哪怕你换成猫猫狗狗。只要D不变就行了。。。不知明白否

爱喝纯牛奶

Out_of_Infinity 发表于 2012-10-1 18:17  如果轮换之后不能叠加（也就是轮换之后区域不同），那么就算轮换也毫无意义可言，我是这么理解的。。。  ...

嗯，我也是这意思，就是都满足轮换对称性，但不能叠加就是不适合使用轮换对称性。这是最让我觉得别扭的一个性质，很不爽。轮换对称性是两个函数之间的一种关系，任一函数都有一个与其对应的满足轮换对称的表达式（等价于交换坐标轴后新坐标系下的函数），所以这好像是个普遍的性质，是不是想的太多了

爱喝纯牛奶

fz5722 发表于 2012-10-1 18:20  只想说。y=x轮换对称太狭隘了。。。只要积分区域D调整后不变即可。。无所谓你怎么变。。x=-x也叫轮换。。哪 ...

嗯，轮换对称性似乎是个普遍性质，任何条件下都有，但是不是适合用就另说了。欢迎讨论，谢谢！