提问 关于向量的线性相关

泚岸彼岸

1、全书第324页 阶梯形向量组一定线性无关。
如果一个向量组是这种形式
           1    6   -4    -1    4
                 0    4     -4   -3   2
                 0     0    0     1    -2
                 0      0    0     0    0    它是阶梯形向量组线性无关   但是它含有零向量 应该是线性相关的才对啊这样不矛盾了么？求各位指点


2 任意n+1个n维向量必线性相关。 这个n维向量如果是列向量，我明白，个数大于维数一定相关。
但是 如果这个n维向量如果是行向量，然后竖着排列 比如 a   b    c
                                                                              b   c     d
                                                                              c   d     e
                                                                              d    e    f    它是4个3维向量 但是我觉得不一定是线性相关的吧？


今天晚上被这里彻底弄晕了，，，，求大家指点

xjtulx

1.这块肯定是指不包括零向量的，全书上交待的不清楚。

2.行向量和列向量一样的。
对于任何矩阵，矩阵的秩=列秩=行秩 恒成立。
不管是列向量，排成3*4的矩阵，还是行向量，排成4*3的矩阵，这个矩阵的秩最大就是3，也就是向量组的秩最大就是3，这个向量组必定线性相关。

wpd.csu

第一题，我与一楼意见一致。第二题，无论你是怎么排列，注意线性相关与无关谈论的对象是那n+1个向量之间的关系，而你说如果竖着排列，那就讨论的变成了一个三个（四维）向量之间的线性关系了，就不满足条件了。（注：上课无聊，用手机看论坛，内容显示有点问题，不知道是否答非所问。）

shxcy

1、你这是什么向量？？维数不一样着~~相关性应该都讨论的是非零向量~~~
2、行列的性质相似，只是矩阵稍微变化了~

泚岸彼岸

xjtulx 发表于 2012-5-16 23:29
1.这块肯定是指不包括零向量的，全书上交待的不清楚。

2.行向量和列向量一样的。

但是如果对于3维行向量排成的4*3的矩阵 相应的向量组的秩为3，那秩等于列数 不就又线性无关了么？
a   b    c
b   c     d
c   d     e
d    e    f     这个矩阵，一定线性相关？ 还是 如果看行向量，因为它是n+1个n维向量，所以是线性相关的  
                 这个形式的看列向量它不一定是线性相关的？难道还要分着看么？

泚岸彼岸

wpd.csu 发表于 2012-5-17 09:33
第一题，我与一楼意见一致。第二题，无论你是怎么排列，注意线性相关与无关谈论的对象是那n+1个向量之间的 ...

是阶梯形向量组一定不含零向量  还是全书上没有说清楚?

泚岸彼岸

xjtulx 发表于 2012-5-16 23:29
1.这块肯定是指不包括零向量的，全书上交待的不清楚。

2.行向量和列向量一样的。

是阶梯形向量组一定不含零向量  还是全书上没有说清楚?

xjtulx

泚岸彼岸 发表于 2012-5-17 22:14
是阶梯形向量组一定不含零向量  还是全书上没有说清楚?

“阶梯形向量组一定线性无关”是在不含零向量时才成立。书上也没有介绍过阶梯形向量组，我也不清楚。

全书中应当做个交待，但是没有。


这个问题，你也不用纠结，以后都不会遇到的。

即使遇到根据题意判断，大多数情况都是不含零向量的。

xjtulx

泚岸彼岸 发表于 2012-5-17 22:13
但是如果对于3维行向量排成的4*3的矩阵 相应的向量组的秩为3，那秩等于列数 不就又线性无关了么？
a   b  ...

这个当然了。
对于这个4*3的矩阵，它的行向量是3维的（此时n=3），有4个，一定线性相关。
而列向量是4维的（此时n=4），只有3个向量，所以无法判断相关性。

如果它的行向量组的秩为3，那么列向量组的秩也一定为3，就可以断定列向量组线性无关。
这里也不矛盾，因为行向量组的相关性和列向量组的相关性，没有必然的联系。（特殊情况下，由行秩=列秩，可以进行一些推断）

泚岸彼岸

xjtulx 发表于 2012-5-17 22:39
这个当然了。
对于这个4*3的矩阵，它的行向量是3维的，有4个，一定线性相关。
而列向量是4维的，只有3个， ...

那也就是说 一个向量组 行向量组线性相关并不意味着列向量组线性相关？
                   在讨论向量组的相关性时，要看它是讨论行向量还是列向量？