求教高手：怎么证明导数的介值定理？

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求教高手：怎么证明导数的介值定理？

xjtulx

f(x)在一个包含【a,b】的区域内可导，f'(a)=M, f'(b)=m，对于任意t在(m,M)或(M,m)上，总存在c属于(a,b)，使得f'(c)=t。

不妨设m<M，反过来也类似。
F(x)=f(x)-tx
F'(x)=f'(x)-t
即F'(a)=M-t>0，F'(b)=m-t<0
也就是说F(x)在a的右邻域函数值大于F(a)，在b的左邻域函数值大于F(b)，又由于F(x)连续，那么F(x)在(a,b)上必有极大值点，即存在c，使F'(c)=0，即f'(c)=t。

441189

xjtulx 发表于 2012-5-14 01:17
f(x)在一个包含【a,b】的区域内可导，f'(a)=M, f'(b)=m，对于任意t在(m,M)或(M,m)上，总存在c属于(a,b)，使 ...

好像根据左右导数负号不能确定单调性，但可以根据左右导数的定义式的保号性来说明极值不在端点取得，再根据费马定理就可以得到结论了！

xjtulx

441189 发表于 2012-5-17 10:55
好像根据左右导数负号不能确定单调性，但可以根据左右导数的定义式的保号性来说明极值不在端点取得，再根 ...

谢谢提醒，已修正。

328128902

达布定理超刚了！