华南师范大学 高等代数 回忆版 (连粘了两贴)

zhe-ping

今年华师的试卷考了许多方程组的内容，这挺意外的。本来以为会考许多方面知识（很担心）
1.定义
(1)A x = 0的基础解系
(2)矩阵的本征向量空间
(3)
(4)
(5)二次型f(x1,x2,...,xn)的典范型
(6)正定矩阵
2.证明:n次多项式最多不能超过n个根
（反证法，其截短的系数矩阵是类似于Vandermonder矩阵）
3.单位基e1,e2,e3,e4,V中线性变换p，p(e1),p(e2),p(e3),p(e4)(具体数值记不得)，求
Im(p)及Ker(p)
(实质求p对应的矩阵A的解空间以及A的行向量空间)
4.已知a+sqrt(c)是f(x)的一个根,f(x)属于Q[x]
证明(1) (x-(a+sqrt(c))(x-(a-sqrt(c))|f(x)
(2)已知1+sqrt(2),1+i是首一多项式g(x)的根,g(x)属于Q[x]，求g(x).
(思路将f1(sqrt(c))=f(a+sqrt(c))=q1+q2*sqrt(c),
f1(sqrt(c))=f(a+sqrt(c))=q1-q2*sqrt(c)=0.第二问题类似)
5.
6.(前贴已发)
7.
8.已知A(4阶矩阵，数值记不清)，A x=0的解空间为W，求W的正交空间的一个标准正交基.
(实质是求A的行向量空间的一个标准正交基)
9.V中的两个线性变换p,q，p有n个相异的本征值,证明p的特征向量就是q的特征向量的充要条件是 p q = q p .
(证明必要性时注意到两个对角矩阵可以交换即可,
p q(e1,...en)(x1,...,xn)'=q p(e1,...en)(x1,...,xn)'，
证明充分性时,只须设q在p的特征向量e1,...,en下矩阵A，然后利用等式得出A是对角阵)

6.矩阵A
0 0 1
1 1 x
1 0 0
当x为何值时，A可对角化.

我首先计算出A的特征值1（两重代数重数），-1;
P^(-1) A P = J = diag(1,1,-1);
r(lamda*I - A)=r(lamda*I - J)=3-2=1;
作(I-A)行变换化成
1 0 -1
0 0 -1-x
0 0 0
原来时算出x=-1
但不知怎样检查改为x=+1,还把结论写在最前面（希望这老师看下去,俺只写错了个结果）

暂时回忆了这么多，希望考过的同学能补充一下，方便一下
最后考场有个女生数学分析她第一个交卷，高等代数又是她第一个交卷，政治第二个交卷。这么利害人物希望她就报高点学校，这样做会吓死某些鞋童的