1。若x→0时，lim u（x）= c ，（存在），又f（u）在u = c连续，则x→0时，lim f（u（x））= f（c）。要是u= c是f（u）的第一类间断，那么，x→0时，lim f（u（x））存在吗？
关键在于f（u）的连续性。连续的深化就是“换序”。
反例——
u= c是f（u）的第一类间断，即存在f（u+0）与f（u–0）
u = xsin（1/x），f（u）= sgn（u），符号函数，u > 0时为1，u < 0时为 –1
x→0时，lim u（x）= 0，摩擦因子x控制了震荡因子。但是，
x→0时，f（xsin（1/x））在两个单侧都震荡无极限。
2。“ f（x）在[a，+∞）连续，自然在任意[a，，b]上有界，所以在[a，+∞）有界。”
这是“脑筋急转弯”似的错误。有限到无穷是质变。无穷个上界可能是个无界数列。
3。若f（x）连续，且x→0时，f（x）是比x高阶的无穷小，那么f（x）在0点可导，导数为0，要是f（x）是比x 高很多阶的无穷小，那么f（x）在0点2阶可导吗？
高阶无穷小与高阶可导没有必然联系；导函数在定义区间内没有第一类间断但可能有第二类间断点
反例——给震荡因子一个可调指数
x≠0时， y = x（5次方）sin（1/x（4次方）），x=0 时，y =0
x→0时，f（x）是高于4阶的无穷小
x ≠ 0 时，此函数的导数有两项，后项为震荡因子，导数在原点不连续，没有2阶导数。
关键在于，给了震荡因子 sin（1/x（4次方）） 一个可调指数（负幂），
它的导数为 （x负5次方）cos（1/x（4次方）），抵消了摩擦因子x（5次方），（不考虑常系数）。
存在+不存在 = 一定不存在
4。“ 若可导函数f（x）有水平渐近线，则x→+∞时，lim f ′（x）=0”
这是想问题太简单犯的错误。
关键在于，x→+∞时，lim f ′（x）存在吗？当然可能震荡不存在。
反例——
y = （1/x）sin（x平方），其导数后项为2 cos（x平方），x→+∞时无极限，存在+不存在 = 一定不存在
发表于 2011-12-30 08:58
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发表于 2015-5-26 21:56
